A velocidade de uma partícula que se move sobre o eixo
é dada por
, onde
é dado em segundos. Calcule o deslocamento
da partícula entre
. (MK 2/6)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $. A fórmula da velocidade é $ v = 40 - 3 t^{2} $ m/s, onde $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo é calcular o deslocamento ($ \Delta x $) da partícula entre $ t = 2 $ segundos e $ t = 4 $ segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre velocidade e deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que deslocamento é a mudança de posição da partícula em um intervalo de tempo. Para encontrar o deslocamento quando temos a função da velocidade, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo. Basicamente, a integração acumula todas as pequenas variações de velocidade ao longo do tempo para dar o total de deslocamento.
Passo 3
Então, vamos configurar a integral da velocidade $ v(t) $ entre os limites de tempo $ t = 2 $ e $ t = 4 $:
Aqui, estamos somando todas as velocidades desde 2 até 4 segundos para encontrar o deslocamento total.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Isso separa a integral em duas partes mais fáceis de calcular.
Passo 5
Calculando cada parte:
Aqui, integramos cada termo separadamente e substituímos os limites de integração.
Passo 6
Agora, subtraímos os resultados das integrais:
Isso nos dá o deslocamento total da partícula no intervalo de tempo considerado.
Resposta
O deslocamento $ \Delta x $ da partícula entre $ t = 2 $ segundos e $ t = 4 $ segundos é 24 metros.