A velocidade de uma partícula que se move sobre o eixo x é dada por v=40-3 t^2 m / s, onde t é dado em segundos. Calcule o deslocamento De da partícula entre t=2 s e t=4 s. (MK 2/6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $. A fórmula da velocidade é $ v = 40 - 3 t^{2} $ m/s, onde $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo é calcular o deslocamento ($ \Delta x $) da partícula entre $ t = 2 $ segundos e $ t = 4 $ segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre velocidade e deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que deslocamento é a mudança de posição da partícula em um intervalo de tempo. Para encontrar o deslocamento quando temos a função da velocidade, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo. Basicamente, a integração acumula todas as pequenas variações de velocidade ao longo do tempo para dar o total de deslocamento.

Passo 3

Então, vamos configurar a integral da velocidade $ v(t) $ entre os limites de tempo $ t = 2 $ e $ t = 4 $:
v(t)
Aqui, estamos somando todas as velocidades desde 2 até 4 segundos para encontrar o deslocamento total.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
De
Isso separa a integral em duas partes mais fáceis de calcular.

Passo 5

Calculando cada parte:
integral2^4 40 , dt = 40 t |2^4 = 40 times 4 - 40 times 2 = 160 - 80 = 80 , m
integral2^4 3 t^2 , dt = 3 times t^33 |2^4 = t^3 |2^4 = 4^3 - 2^3 = 64 - 8 = 56 , m
Aqui, integramos cada termo separadamente e substituímos os limites de integração.

Passo 6

Agora, subtraímos os resultados das integrais:
De
Isso nos dá o deslocamento total da partícula no intervalo de tempo considerado.

Resposta

O deslocamento $ \Delta x $ da partícula entre $ t = 2 $ segundos e $ t = 4 $ segundos é 24 metros.

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