Mostre que, em um lançamento de projétil com velocidade v_{0}, o ângulo que resulta na máxima distância horizontal R é \theta=45^{\circ}. (MK 2/68)

Passo 1

Estamos estudando o lançamento oblíquo de um projétil — conteúdo de cinemática bidimensional. O enunciado pede para mostrarmos que, dado o módulo da velocidade inicial \,v_{0}, o ângulo de lançamento \theta que torna máxima a distância horizontal R é \theta=45^\circ. Para isso, vamos (1) obter a expressão de R em função de \theta e (2) determinar seu valor máximo.

Passo 2

Separamos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical:
v_{0x} = v_{0}\cos\theta, \quad v_{0y} = v_{0}\sin\theta.
Na direção vertical, o projétil sobe e depois desce até o mesmo nível de lançamento. O tempo total de voo T satisfaz
T = \frac{2\,v_{0y}}{g} = \frac{2\,v_{0}\sin\theta}{g},
onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

A distância horizontal (alcance) é a componente horizontal da velocidade vezes o tempo de voo:
R = v_{0x}\,T = \bigl(v_{0}\cos\theta\bigr)\,\bigl(\tfrac{2\,v_{0}\sin\theta}{g}\bigr) = \frac{2\,v_{0}^{2}}{g}\,\sin\theta\cos\theta.
Usando a identidade trigonométrica \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, obtemos
R(\theta) = \frac{v_{0}^{2}}{g}\,\sin(2\theta).

Passo 4

Para maximizar R(\theta), note que \tfrac{v_{0}^{2}}{g} é constante e \sin(2\theta) atinge seu valor máximo 1 quando
2\theta = 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta = 45^\circ.

Resposta

O ângulo de lançamento que maximiza o alcance horizontal é \theta = 45^\circ.

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