Mostre que, em um lançamento de projétil com velocidade
, o ângulo que resulta na máxima distância horizontal
é
. (MK 2/68)
Passo 1
Estamos estudando o lançamento oblíquo de um projétil — conteúdo de cinemática bidimensional. O enunciado pede para mostrarmos que, dado o módulo da velocidade inicial
, o ângulo de lançamento
que torna máxima a distância horizontal
é
. Para isso, vamos (1) obter a expressão de
em função de
e (2) determinar seu valor máximo.
Passo 2
Separamos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical:
Na direção vertical, o projétil sobe e depois desce até o mesmo nível de lançamento. O tempo total de voo
satisfaz
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
A distância horizontal (alcance) é a componente horizontal da velocidade vezes o tempo de voo:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Passo 4
Para maximizar
, note que
é constante e
atinge seu valor máximo
quando
Resposta
O ângulo de lançamento que maximiza o alcance horizontal é
.