A aceleração de uma partícula é descrita como \overrightarrow{\boldsymbol{a}}=\{2 i+(6-6 t) j\} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Se \overrightarrow{\boldsymbol{r}}=\overrightarrow{\boldsymbol{0}} e \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=\overrightarrow{\boldsymbol{0}} quando t= 0 , mostre que o valor absoluto do deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo entre t=0 e t=3 s é de 9 m .

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara.
  • A aceleração vetorial da partícula é \overrightarrow{\boldsymbol{a}}(t)=2\,\mathbf{i}+(6-6t)\,\mathbf{j} em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • Condições iniciais em t=0:
    • Posição inicial \overrightarrow{\boldsymbol{r}}(0)=\overrightarrow{\boldsymbol{0}}.
    • velocidade inicial \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(0)=\overrightarrow{\boldsymbol{0}}.
  • Intervalo de interesse: de t=0 até t=3\\ \mathrm{s}.
  • O que pede o enunciado: mostrar que o valor absoluto do deslocamento da partícula durante esse intervalo é 9\\ \mathrm{m}. Ou seja, calcular a magnitude do deslocamento \big|\Delta\overrightarrow{\boldsymbol{r}}\big| entre t=0 e t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceitos e relações que vamos usar (explicando bem devagar).
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em símbolos: \overrightarrow{\boldsymbol{a}}(t)=\frac{d\overrightarrow{\boldsymbol{v}}(t)}{dt}.Aqui \overrightarrow{\boldsymbol{a}}(t) é o vetor aceleração, \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(t) a velocidade; derivada componente a componente.
  • A velocidade é a derivada da posição: \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(t)=\frac{d\overrightarrow{\boldsymbol{r}}(t)}{dt}.
  • Para obter velocidade a partir da aceleração fazemos integração temporal: \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(t)=\int \overrightarrow{\boldsymbol{a}}(t)\,dt + \overrightarrow{\boldsymbol{C}}_1,onde \overrightarrow{\boldsymbol{C}}_1 é o vetor constante de integração determinado pelas condições iniciais.
  • Para obter posição a partir da velocidade integramos novamente: \overrightarrow{\boldsymbol{r}}(t)=\int \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(t)\,dt + \overrightarrow{\boldsymbol{C}}_2,onde \overrightarrow{\boldsymbol{C}}_2 é outra constante vetorial fixada pela posição inicial.
  • Para vetores no plano (componentes x e y), tudo isso é feito componente a componente: integrar a componente x separadamente da componente y.

Passo 3

Integração da componente x (passo a passo).
  • A componente x da aceleração é a_x(t)=2 (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2), ou seja, constante.
  • Integrando para obter a velocidade na direção x: v_x(t)=\int 2\,dt = 2t + C_{1x},onde C_{1x} é constante. Usando a condição inicial v_x(0)=0 obtemos C_{1x}=0. Logo v_x(t)=2t.
  • Agora integrar para obter a posição x(t): x(t)=\int v_x(t)\,dt=\int 2t\,dt = t^2 + C_{2x},onde C_{2x} é constante. Usando x(0)=0 (a posição inicial em x é zero) dá C_{2x}=0. Portanto x(t)=t^2.Observação: as unidades conferem: t^2 tem unidade \mathrm{s}^2, multiplicado por \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 nas integrais resulta em metros; aqui o resultado final está em metros.

Passo 4

Integração da componente y (com cuidado com polinômios).
  • A componente y da aceleração é a_y(t)=6-6t.
  • Integrando para obter v_y(t): v_y(t)=\int (6-6t)\,dt = 6t - 3t^2 + C_{1y},com C_{1y} constante. Usando v_y(0)=0 obtemos C_{1y}=0. Assim v_y(t)=6t - 3t^2.(Explicando: \int 6\,dt = 6t e \int -6t\,dt = -6\cdot\frac{t^2}{2}=-3t^2.)
  • Integrando v_y(t) para obter y(t): y(t)=\int (6t - 3t^2)\,dt = 3t^2 - t^3 + C_{2y}.Usando y(0)=0 (condição inicial) resulta C_{2y}=0. Logo y(t)=3t^2 - t^3.

Passo 5

Posição da partícula em t=3\\ \mathrm{s}.
  • Usar as fórmulas obtidas: x(3)= (3)^2 = 9.
y(3)= 3(3)^2 - (3)^3 = 3\cdot 9 - 27 = 27 - 27 = 0.
  • Como a posição inicial era \overrightarrow{\boldsymbol{r}}(0)=\overrightarrow{\boldsymbol{0}}, o vetor deslocamento entre t=0 e t=3 é exatamente a posição final \overrightarrow{\boldsymbol{r}}(3) = 9\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j}.

Passo 6

Cálculo do valor absoluto (magnitude) do deslocamento.
  • A magnitude de um vetor posição \overrightarrow{\boldsymbol{r}}=(x,y) é \big|\overrightarrow{\boldsymbol{r}}\big|=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Aplicando aos valores em t=3: \big|\overrightarrow{\boldsymbol{r}}(3)\big|=\sqrt{\,x(3)^2 + y(3)^2\,}=\sqrt{9^2 + 0^2}=\sqrt{81}=9.
  • Unidade: metros. Portanto o valor absoluto do deslocamento no intervalo pedido é 9\\ \mathrm{m}.

Resposta

9\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados