Um carro está se movendo por uma estrada cujo perfil é descrito pela função y=x^{2}-4 com velocidade constante de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine o local da trajetória onde sua a aceleração é máxima e encontre o valor dessa aceleração. Dados adicionais: a aceleração é a=v^{2} / r, sendo r definido por:
r=\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{3 / 2} /\left|\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right|
Tenha cuidado aqui. Calcule o valor de r onde a aceleração for a maior possível. Não precisa ter qualquer conhecimento de Física para resolver este problema.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o ponto da trajetória onde a aceleração do carro é máxima.
  • Encontrar o valor dessa aceleração.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A curva (perfil da estrada) é y=x^{2}-4.
  • A velocidade do carro é constante e vale 1\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, isto é v=1\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • A aceleração normal (centrípeta) é dada por a=\dfrac{v^{2}}{r}.
  • O raio de curvatura r é
r=\frac{\bigl[1+\bigl(\dfrac{dy}{dx}\bigr)^{2}\bigr]^{3/2}}{\left|\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|}.
  • Observação pedida no enunciado: calcular o valor de r onde a aceleração for a maior possível.

Passo 2

Calcular as derivadas de y(x)=x^{2}-4, pois elas aparecem na fórmula de r.
Derivada primeira:
\frac{dy}{dx}=2x.
Derivada segunda:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2.
Aqui cada passo é direto: derivada de x^{2} é 2x e derivada de 2x é 2. A segunda derivada é constante e positiva.

Passo 3

Substituir as derivadas na fórmula do raio de curvatura r.
Primeiro, \bigl(\dfrac{dy}{dx}\bigr)^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}.
A segunda derivada em módulo é \left|\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|=|2|=2.
Portanto
r(x)=\frac{\bigl[1+4x^{2}\bigr]^{3/2}}{2}.
Expliquei: apenas coloquei as expressões encontradas no lugar certo da fórmula de r.

Passo 4

Escrever a aceleração a como função de x, usando v=1\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
a(x)=\frac{v^{2}}{r(x)}=\frac{1^{2}}{ \dfrac{\bigl[1+4x^{2}\bigr]^{3/2}}{2}} = \frac{2}{\bigl[1+4x^{2}\bigr]^{3/2}}.
Então a aceleração depende só de x por meio de \bigl[1+4x^{2}\bigr]^{3/2}.

Passo 5

Determinar o x que maximiza a(x).
Intuição rápida: a função \bigl[1+4x^{2}\bigr]^{3/2} é mínima quando x^{2} é mínima, isto é em x=0. Como a(x) é 2 dividido por essa quantidade positiva, a(x) é máxima exatamente onde \bigl[1+4x^{2}\bigr]^{3/2} é mínima → em x=0. Para ser rigoroso, faço a verificação por derivada.
Calcular a derivada de a(x):
a'(x) = \frac{d}{dx}\!\left[2\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{-3/2}\right] =2\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{-5/2}\cdot(8x).
Simplificando:
a'(x) = -24x\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{-5/2}.
Resolver a'(x)=0 -24x\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{-5/2}=0\Rightarrow x=0 (o fator \bigl(1+4x^{2}\bigr)^{-5/2} nunca é zero).
Verificação de máximo: calcular a''(0). Uma forma curta é observar o sinal de a'(x): para x>0 tem a'(x)<0 e para x<0 tem a'(x)>0, portanto x=0 é um máximo. Para confirmar com segunda derivada, temos (sem detalhar todo o produto)
a''(0)=-24<0,
logo é realmente um máximo.

Passo 6

Determinar o ponto na trajetória e o valor da aceleração máxima.
O x onde a aceleração é máxima é x=0.
O ponto da trajetória (coordenadas) é
\bigl(x,y\bigr)=\bigl(0,\;y(0)\bigr)=\bigl(0,\;0^{2}-4\bigr)=\bigl(0,\;-4\bigr).
O valor da aceleração máxima é a(0):
a_{\max}=a(0)=\frac{2}{\bigl[1+4\cdot 0^{2}\bigr]^{3/2}}=\frac{2}{1}=2.
Unidade: \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Resposta

O ponto da trajetória com aceleração máxima é (0,-4).
O valor da aceleração máxima é 2\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

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