Um carro está se movendo por uma estrada cujo perfil é descrito pela função y=x^{2}-4 com velocidade constante de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine o local da trajetória onde sua a aceleração é máxima e encontre o valor dessa aceleração. Dados adicionais: a aceleração é a=v^{2} / r, sendo r definido por:
Tenha cuidado aqui. Calcule o valor de r onde a aceleração for a maior possível. Não precisa ter qualquer conhecimento de Física para resolver este problema.
Passo 1
O que o problema pede:
Determinar o ponto da trajetória onde a aceleração do carro é máxima.
Encontrar o valor dessa aceleração.
Informações fornecidas pelo enunciado:
A curva (perfil da estrada) é y=x^{2}-4.
A velocidade do carro é constante e vale 1\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, isto é v=1\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
A aceleração normal (centrípeta) é dada por a=\dfrac{v^{2}}{r}.
Então a aceleração depende só de x por meio de \bigl[1+4x^{2}\bigr]^{3/2}.
Passo 5
Determinar o x que maximiza a(x).
Intuição rápida: a função \bigl[1+4x^{2}\bigr]^{3/2} é mínima quando x^{2} é mínima, isto é em x=0. Como a(x) é 2 dividido por essa quantidade positiva, a(x) é máxima exatamente onde \bigl[1+4x^{2}\bigr]^{3/2} é mínima → em x=0. Para ser rigoroso, faço a verificação por derivada.
Resolver a'(x)=0 dá -24x\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{-5/2}=0\Rightarrow x=0 (o fator \bigl(1+4x^{2}\bigr)^{-5/2} nunca é zero).
Verificação de máximo: calcular a''(0). Uma forma curta é observar o sinal de a'(x): para x>0 tem a'(x)<0 e para x<0 tem a'(x)>0, portanto x=0 é um máximo. Para confirmar com segunda derivada, temos (sem detalhar todo o produto)
a''(0)=-24<0,
logo é realmente um máximo.
Passo 6
Determinar o ponto na trajetória e o valor da aceleração máxima.