Dois corredores partem simultaneamente do mesmo ponto de uma pista circular de 300 mi e correm em sentidos opostos. Um corre com velocidade constante de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o outro corre com uma velocidade constante de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quando eles se encontram pela primeira vez:
a) Por quanto tempo estão correndo?
b) Qual a distância percorrida por cada um deles até o instante o primeiro encontro?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A pista é circular com comprimento L=300 (o enunciado escreveu “mi”; como as velocidades estão em \mathrm{m/s}, vou interpretar isso como 300\\ \mathrm{m}).
  • Os dois corredores partem simultaneamente do mesmo ponto e correm em sentidos opostos.
  • Velocidade do primeiro corredor: v_1=6\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do segundo corredor: v_2=4\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
(a) o tempo decorrido até o primeiro encontro;
(b) a distância percorrida por cada corredor até esse encontro.

Passo 2

Entendendo quando eles se encontram (ideia-chave). Pense assim: em uma pista circular de comprimento L, se as posições ao longo da pista são medidas modulo L, depois de um tempo t as posições (medidas a partir do ponto de partida, no sentido positivo para o corredor 1 e negativo para o corredor 2) são
x_1 = v_1 t \pmod{L}, \qquad x_2 = -v_2 t \pmod{L}.
Eles se encontram quando as posições coincidem módulo L, ou seja quando
v_1 t \equiv -v_2 t \pmod{L}.
Isso é equivalente a
(v_1+v_2)\,t \equiv 0 \pmod{L},
ou seja (v_1+v_2)t é um múltiplo de L. O primeiro encontro (menor t>0) ocorre para o menor múltiplo positivo, isto é quando
(v_1+v_2)\,t = L.
Essa relação também pode ser entendida com a ideia mais simples de velocidade relativa: correndo em sentidos opostos, a “velocidade com que a distância entre eles se fecha” é a soma das velocidades v_1+v_2. Para que a soma das distâncias percorridas seja igual ao comprimento da pista L (uma volta inteira ao redor), basta o tempo t=L/(v_1+v_2).

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior para calcular o tempo do primeiro encontro:
t=\frac{L}{v_1+v_2}.
Substituindo os valores dados:
t=\frac{300}{6+4}=\frac{300}{10}=30\\ \mathrm{s}.
Portanto eles correm por \,30\\ \mathrm{s}\, até o primeiro encontro.

Passo 4

Agora calculamos a distância percorrida por cada um até o encontro. A distância percorrida por um corredor com velocidade constante v em tempo t é
s = v t,
onde s é o deslocamento ao longo da pista (ainda em metros aqui).
Para o corredor 1:
s_1 = v_1 t = 6\cdot 30 = 180\\ \mathrm{m}.
Para o corredor 2:
s_2 = v_2 t = 4\cdot 30 = 120\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida: s_1+s_2=180+120=300=L, ou seja, as distâncias somadas dão exatamente o comprimento da pista, como esperado para o primeiro encontro.

Passo 5

Resumo didático curto (como aplicar isso numa prova):
  • Sempre que dois objetos se movem em sentidos opostos em uma pista circular e partem do mesmo ponto, o primeiro encontro ocorre quando a soma das distâncias que percorreram for igual a L.
  • Em termos de velocidades, use t=L/(v_1+v_2).
  • Em seguida calcule s_i=v_i t para cada um.
    Guarda essa receita: tempo pelo inverso da velocidade relativa (aqui soma) e depois multiplica pelo tempo para obter distâncias.

Resposta

(a) 30\\ \mathrm{s}
(b) corredor com 6\\ \mathrm{m/s}: 180\\ \mathrm{m}
corredor com 4\\ \mathrm{m/s}: 120\\ \mathrm{m}

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