Dois corredores partem simultaneamente do mesmo ponto de uma pista circular de 300 mi e correm em sentidos opostos. Um corre com velocidade constante de
e o outro corre com uma velocidade constante de
. Quando eles se encontram pela primeira vez:
a) Por quanto tempo estão correndo?
b) Qual a distância percorrida por cada um deles até o instante o primeiro encontro?
a) Por quanto tempo estão correndo?
b) Qual a distância percorrida por cada um deles até o instante o primeiro encontro?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A pista é circular com comprimento
(o enunciado escreveu “mi”; como as velocidades estão em , vou interpretar isso como ). - Os dois corredores partem simultaneamente do mesmo ponto e correm em sentidos opostos.
- Velocidade do primeiro corredor:
. - Velocidade do segundo corredor:
.
O enunciado pede:
(a) o tempo decorrido até o primeiro encontro;
(b) a distância percorrida por cada corredor até esse encontro.
(a) o tempo decorrido até o primeiro encontro;
(b) a distância percorrida por cada corredor até esse encontro.
Passo 2
Entendendo quando eles se encontram (ideia-chave). Pense assim: em uma pista circular de comprimento
, se as posições ao longo da pista são medidas modulo
, depois de um tempo
as posições (medidas a partir do ponto de partida, no sentido positivo para o corredor 1 e negativo para o corredor 2) são
Eles se encontram quando as posições coincidem módulo
, ou seja quando
Isso é equivalente a
ou seja
é um múltiplo de
. O primeiro encontro (menor
) ocorre para o menor múltiplo positivo, isto é quando
Essa relação também pode ser entendida com a ideia mais simples de velocidade relativa: correndo em sentidos opostos, a “velocidade com que a distância entre eles se fecha” é a soma das velocidades
. Para que a soma das distâncias percorridas seja igual ao comprimento da pista
(uma volta inteira ao redor), basta o tempo
.
Passo 3
Aplicando a fórmula do passo anterior para calcular o tempo do primeiro encontro:
Substituindo os valores dados:
Portanto eles correm por
até o primeiro encontro.
Passo 4
Agora calculamos a distância percorrida por cada um até o encontro. A distância percorrida por um corredor com velocidade constante
em tempo
é
onde
é o deslocamento ao longo da pista (ainda em metros aqui).
Para o corredor 1:
Para o corredor 2:
Verificação rápida:
, ou seja, as distâncias somadas dão exatamente o comprimento da pista, como esperado para o primeiro encontro.
Passo 5
Resumo didático curto (como aplicar isso numa prova):
- Sempre que dois objetos se movem em sentidos opostos em uma pista circular e partem do mesmo ponto, o primeiro encontro ocorre quando a soma das distâncias que percorreram for igual a
. - Em termos de velocidades, use
. - Em seguida calcule
para cada um.
Guarda essa receita: tempo pelo inverso da velocidade relativa (aqui soma) e depois multiplica pelo tempo para obter distâncias.
Resposta
(a)
(b) corredor com :
corredor com :
(b) corredor com
corredor com