Quais das seguintes operações são legítimas. Justifique suas respostas.
a) \vec{a}(\vec{b}-\vec{c})

Passo 1

O enunciado pede que se verifique se a expressão \vec{a}(\vec{b}-\vec{c}) é uma operação legítima.
Informações dadas: existem três vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}. Não há indicação de que algum deles seja um escalar nem de qual operação (produto escalar, vetorial, etc.) está sendo usada — a notação é simplesmente \vec{a}(\vec{b}-\vec{c}).

Passo 2

Explicar quais produtos entre vetores são padrões (isto é, operações bem definidas) e o que cada um produz:
  • Produto escalar (ou ponto): para vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^n define-se
\vec{u}\cdot\vec{v}=\sum_{i=1}^{n}u_i v_i,
que é um número (escalar). Propriedade importante: é distributivo em relação à soma:
\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}.
  • Produto vetorial (ou cruz): para vetores em \mathbb{R}^3 define-se \vec{u}\times\vec{v}, que é um vetor em \mathbb{R}^3. Também é distributivo:
\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{w}.
  • Multiplicação por escalar: para escalar \lambda e vetor \vec{v} tem-se \lambda\vec{v}, que é um vetor.
Observação: essas três são as operações usuais entre vetores/escalares; não existe, na notação padrão, um “produto” implícito entre dois vetores sem indicar qual dos produtos se quer.

Passo 3

Interpretar a notação dada e verificar legitimidade. A expressão \vec{a}(\vec{b}-\vec{c}) coloca um vetor \vec{a} multiplicando outro vetor (\vec{b}-\vec{c}) sem operador escrito. Na notação padrão isso é ambíguo e, portanto, não é uma expressão legítima por si só. Razões:
  • Se a intenção fosse multiplicação por escalar, o primeiro fator deveria ser um escalar. Aqui \vec{a} é vetor, então \vec{a}(\vec{b}-\vec{c}) não representa \lambda\vec{v}.
  • Se a intenção fosse produto escalar, a notação correta é \vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c}). Sem o ponto essa operação não está especificada.
  • Se a intenção fosse produto vetorial, a notação correta é \vec{a}\times(\vec{b}-\vec{c}). Sem o \times também não está especificada.
    Logo, como escrita, a operação não é legítima — é ambígua e não definida pela convenção usual.

Passo 4

Mostrar formas legítimas que se parecem com a expressão dada e suas consequências (para aprender como resolver na prova):
  • Se for produto escalar, então a expressão correta e legítima é \vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c}). Usando distributividade:
\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c},
e o resultado é um escalar.
  • Se for produto vetorial (aplicável apenas em \mathbb{R}^3), a expressão correta é \vec{a}\times(\vec{b}-\vec{c}). Pela distributividade:
\vec{a}\times(\vec{b}-\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}-\vec{a}\times\vec{c},
e o resultado é um vetor em \mathbb{R}^3.
  • Se, por algum contexto não dado, \vec{a} fosse na verdade um escalar (por exemplo denotado por a sem seta), então a(\vec{b}-\vec{c}) seria legítimo (multiplicação escalar), mas isso contradiz a notação com seta em \vec{a}.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (para ver como calcular quando a operação é bem determinada). Tome
\vec{a}=(1,2,3),\qquad \vec{b}=(4,0,-1),\qquad \vec{c}=(1,1,1).
Calcule \vec{b}-\vec{c}=(3,-1,-2).
Produto escalar:
\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=(1,2,3)\cdot(3,-1,-2)=1\cdot3+2\cdot(-1)+3\cdot(-2)=3-2-6=-5.
Produto vetorial (em \mathbb{R}^3):
\vec{a}\times(\vec{b}-\vec{c})= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 2 & 3\\[2pt] 3 & -1 & -2 \end{vmatrix} =(2\cdot(-2)-3\cdot(-1),\;3\cdot3-1\cdot(-2),\;1\cdot(-1)-2\cdot3) =(-4+3,\;9+2,\;-1-6)=(-1,11,-7).
Isso mostra que, quando o operador é explícito, a operação é bem definida e dá resultado (escalar ou vetor conforme o caso). Sem o operador, nada disso é permitido.]

Passo 6

Resumo prático que use no exame: sempre escreva o operador. Não aceite \vec{a}(\vec{b}-\vec{c}) sem ponto ou cruz — escreva \vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c}) ou \vec{a}\times(\vec{b}-\vec{c}) ou, se \vec{a} fosse escalar, escreva a(\vec{b}-\vec{c}).

Resposta

Não é legítima como está escrita (a notação é ambígua e não define uma operação).
Se a intenção for produto escalar, use \vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c}) (resultado escalar).
Se a intenção for produto vetorial (apenas em \mathbb{R}^3), use \vec{a}\times(\vec{b}-\vec{c}) (resultado vetor).

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