Uma partícula possui velocidade dada por v(t)=-t^{2}+6 t
Determine:
a) os intervalos em que a partícula acelera;
b) os intervalos em que desacelera;
c) o deslocamento entre t=0 e t=6 s;
d) a aceleração no instante \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula em função do tempo:
v(t) = -t^{2} + 6t
e pede:
(a) os intervalos em que a partícula acelera;
(b) os intervalos em que desacelera;
(c) o deslocamento entre t=0 e t=6\\ \text{s};
(d) a aceleração no instante t=2\\ \text{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função velocidade é \,v(t)=-t^{2}+6t.
  • O intervalo de tempo pedido para o deslocamento é de t=0 a t=6\\ \text{s}.
  • As unidades de tempo são segundos; as unidades de velocidade não foram explicitadas, mas usarei \text{m/s} por convenção ao indicar unidades das respostas.

Passo 2

Primeiro precisamos da aceleração como função do tempo. Em cinemática, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Isto é,
a(t)=\frac{d}{dt}v(t).
Para derivar polinômios usamos a regra do expoente (regra do poder): se f(t)=t^{n}, então \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}. Aplicando termo a termo em v(t)=-t^{2}+6t:
  • a derivada de -t^{2} é -2t;
  • a derivada de 6t é 6.
Portanto
a(t)= -2t + 6 = 6 - 2t.

Passo 3

Agora explico como decidir “acelera” e “desacelera” (ou “acelera” e “desacelera o módulo da velocidade”). A velocidade é v(t) e a aceleração é a(t). O módulo da velocidade (a rapidez) aumenta quando a aceleração tem o mesmo sinal da velocidade, isto é, quando
v(t)\cdot a(t) > 0.
Isso ocorre porque a aceleração muda a velocidade na mesma direção da velocidade existente, fazendo o número |v| crescer. Se v(t)\cdot a(t) < 0, a aceleração age no sentido oposto ao da velocidade e a rapidez diminui (desacelera).

Passo 4

Determinar os sinais de v(t) e a(t) no intervalo de interesse [0,6].
  1. Zeros e sinal de v(t):
v(t) = -t^{2}+6t = t(6-t).
Os zeros são t=0 e t=6. Como é um polinômio quadrático com coeficiente de t^{2} negativo, v(t)>0 para 0<t<6, e v(t)=0 em t=0 e t=6.
  1. Zeros e sinal de a(t):
a(t) = 6-2t.
Resolver a(t)=0 6-2t=0\Rightarrow t=3. Como a(t) é linear com coeficiente de t negativo, temos a(t)>0 para t<3, a(t)=0 em t=3, e a(t)<0 para t>3.

Passo 5

Combinar os sinais para decidir aceleração/desaceleração no intervalo [0,6].
  • Para 0<t<3: tem-se v(t)>0 e a(t)>0. Logo v(t)\cdot a(t)>0 e a rapidez aumenta ⇒ a partícula acelera neste intervalo.
  • Em t=3: a(3)=0. Neste instante a aceleração é nula (ponto de transição).
  • Para 3<t<6: tem-se v(t)>0 e a(t)<0. Logo v(t)\cdot a(t)<0 e a rapidez diminui ⇒ a partícula desacelera neste intervalo.
  • Em t=0 e t=6: v=0 (partida e instante em que a velocidade zera). Em t=0 a aceleração é a(0)=6>0 (parte acelerando desde repouso). Em t=6 a aceleração é a(6)=6-12=-6<0 (a velocidade chega a zero vindo do positivo).
Resumo qualitativo: dentro do intervalo considerado [0,6], acelera para 0<t<3 e desacelera para 3<t<6.

Passo 6

Agora calculamos o deslocamento entre t=0 e t=6\\ \text{s}. Deslocamento (variação de posição) é a integral da velocidade:
\Delta x=\int_{0}^{6} v(t)\,dt=\int_{0}^{6} \big(-t^{2}+6t\big)\,dt.
Encontrar uma primitiva (antiderivada) de v(t):
  • antiderivada de -t^{2} é -\dfrac{t^{3}}{3};
  • antiderivada de 6t é 3t^{2}.
Assim uma primitiva é
V(t) = -\frac{t^{3}}{3} + 3t^{2}.
Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
\Delta x = V(6)-V(0).

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites:
Calcular V(6):
V(6) = -\frac{6^{3}}{3} + 3\cdot 6^{2} = -\frac{216}{3} + 3\cdot 36 = -72 + 108 = 36.
Calcular V(0)=0. Portanto
\Delta x = 36 - 0 = 36.
Como v(t)\ge 0 em [0,6], esse deslocamento é também a distância percorrida: 36 (unidades de comprimento, por exemplo \text{m}).

Passo 8

Finalmente, calcular a aceleração no instante t=2\\ \text{s}. Já temos a(t)=6-2t. Substituindo t=2:
a(2)=6-2\cdot 2=6-4=2.
Logo a aceleração em t=2\\ \text{s} é 2 (unidades de aceleração, por exemplo \text{m/s}^{2}).

Resposta

(a) A partícula acelera para 0<t<3.
(b) A partícula desacelera para 3<t<6.
(c) Deslocamento entre t=0 e t=6\\ \text{s}: \;36.
(d) Aceleração em t=2\\ \text{s}: \;2.

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