Uma partícula possui velocidade dada por
Determine:
a) os intervalos em que a partícula acelera;
b) os intervalos em que desacelera;
c) o deslocamento entre
e
;
d) a aceleração no instante
.
a) os intervalos em que a partícula acelera;
b) os intervalos em que desacelera;
c) o deslocamento entre
d) a aceleração no instante
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula em função do tempo:
e pede:
(a) os intervalos em que a partícula acelera;
(b) os intervalos em que desacelera;
(c) o deslocamento entre e
;
(d) a aceleração no instante .
(a) os intervalos em que a partícula acelera;
(b) os intervalos em que desacelera;
(c) o deslocamento entre
(d) a aceleração no instante
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função velocidade é
. - O intervalo de tempo pedido para o deslocamento é de
a . - As unidades de tempo são segundos; as unidades de velocidade não foram explicitadas, mas usarei
por convenção ao indicar unidades das respostas.
Passo 2
Primeiro precisamos da aceleração como função do tempo. Em cinemática, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Isto é,
Para derivar polinômios usamos a regra do expoente (regra do poder): se
, então
. Aplicando termo a termo em
:
- a derivada de
é ; - a derivada de
é .
Portanto
Passo 3
Agora explico como decidir “acelera” e “desacelera” (ou “acelera” e “desacelera o módulo da velocidade”). A velocidade é
e a aceleração é
. O módulo da velocidade (a rapidez) aumenta quando a aceleração tem o mesmo sinal da velocidade, isto é, quando
Isso ocorre porque a aceleração muda a velocidade na mesma direção da velocidade existente, fazendo o número
crescer. Se
, a aceleração age no sentido oposto ao da velocidade e a rapidez diminui (desacelera).
Passo 4
Determinar os sinais de
e
no intervalo de interesse
.
- Zeros e sinal de
:
Os zeros são
e
. Como é um polinômio quadrático com coeficiente de
negativo,
para
, e
em
e
.
- Zeros e sinal de
:
Resolver
dá
. Como
é linear com coeficiente de
negativo, temos
para
,
em
, e
para
.
Passo 5
Combinar os sinais para decidir aceleração/desaceleração no intervalo
.
-
Para
: tem-se e . Logo e a rapidez aumenta ⇒ a partícula acelera neste intervalo. -
Em
: . Neste instante a aceleração é nula (ponto de transição). -
Para
: tem-se e . Logo e a rapidez diminui ⇒ a partícula desacelera neste intervalo. -
Em
e : (partida e instante em que a velocidade zera). Em a aceleração é (parte acelerando desde repouso). Em a aceleração é (a velocidade chega a zero vindo do positivo).
Resumo qualitativo: dentro do intervalo considerado
, acelera para
e desacelera para
.
Passo 6
Agora calculamos o deslocamento entre
e
. Deslocamento (variação de posição) é a integral da velocidade:
Encontrar uma primitiva (antiderivada) de
:
- antiderivada de
é ; - antiderivada de
é .
Assim uma primitiva é
Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites:
Calcular
:
Calcular
. Portanto
Como
em
, esse deslocamento é também a distância percorrida:
(unidades de comprimento, por exemplo
).
Passo 8
Finalmente, calcular a aceleração no instante
. Já temos
. Substituindo
:
Logo a aceleração em
é
(unidades de aceleração, por exemplo
).
Resposta
(a) A partícula acelera para
.
(b) A partícula desacelera para .
(c) Deslocamento entre e
:
.
(d) Aceleração em :
.
(b) A partícula desacelera para
(c) Deslocamento entre
(d) Aceleração em