Um objeto é lançado com velocidade inicial fixa de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
a) o ângulo que produz alcance máximo;
b) o alcance máximo obtido;
c) o tempo correspondente de voo.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Informação dada: velocidade inicial fixa \,v_0=50\\ \mathrm{m/s}.
  • Informação não fornecida explicitamente: aceleração da gravidade. Aqui vamos assumir \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
  • O que pedir:
    (a) o ângulo \theta que produz alcance máximo;
    (b) o valor do alcance máximo;
    (c) o tempo de voo correspondente a esse alcance máximo.

Passo 2

Vamos definir as variáveis e as equações de movimento (componentes do lançamento), explicando tudo passo a passo.
  • Ao lançar com velocidade inicial \,v_0 formando um ângulo \theta com a horizontal, as componentes da velocidade inicial são: v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.Explicação: \,v_{0x} é a componente horizontal (porque multiplica o cosseno) e \,v_{0y} é a componente vertical (porque multiplica o seno).
  • Movimento horizontal: não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), então a posição horizontal em função do tempo t é x(t)=v_{0x}\,t=v_0\cos\theta\;t.
  • Movimento vertical: sofre aceleração -g. A posição vertical relativa ao ponto de lançamento é y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}=v_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.Explicação: termo linear vem da velocidade inicial vertical e termo quadrático vem da aceleração gravitacional.

Passo 3

Determinar o tempo total de voo T em função de \theta.
  • O tempo total de voo (até retornar ao mesmo nível vertical de lançamento) é o T>0 tal que y(T)=0. Igualando: v_0\sin\theta\;T-\tfrac{1}{2}g\,T^{2}=0.
  • Fatorando T: T\left(v_0\sin\theta-\tfrac{1}{2}g\,T\right)=0.As soluções são T=0 (instante inicial) e T=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.Explicação: essa fórmula é muito usada em lançamentos — a subida leva tempo v_0\sin\theta/g e a descida o mesmo tempo, totalizando o dobro.

Passo 4

Determinar o alcance R (distância horizontal percorrida até voltar ao nível de lançamento) em função de \theta.
  • O alcance é R=x(T) com T do passo anterior. Assim: R=v_0\cos\theta\;T = v_0\cos\theta\;\frac{2v_0\sin\theta}{g}.
  • Reorganizando: R=\frac{2v_0^{2}\sin\theta\cos\theta}{g}.
  • Usando a identidade trigonométrica \,2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta), obtemos a forma clássica R(\theta)=\frac{v_0^{2}}{g}\,\sin(2\theta).Explicação: isso mostra que o alcance depende de \theta apenas através de \sin(2\theta).

Passo 5

Encontrar o ângulo \theta que maximiza R(\theta).
  • A função \sin(2\theta) tem valores entre -1 e 1. Para obter R máximo, queremos \sin(2\theta) o mais alto possível, isto é 1.
  • Logo a condição é \sin(2\theta)=1\quad\Rightarrow\quad 2\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi.Tomando a solução principal no intervalo [0,\pi/2] (ângulos de lançamento usuais), temos 2\theta=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4}.
  • Em graus, isso é \theta=45^\circ.
    Comentário didático: não é necessário derivar; basta saber que a função seno atinge 1 em \pi/2. Se preferir calcular com derivada, obteria o mesmo resultado.

Passo 6

Calcular o alcance máximo substituindo \theta=\pi/4 na expressão de R(\theta).
  • Como \sin(2\theta)=\sin(\pi/2)=1, o alcance máximo é R_{\max}=\frac{v_0^{2}}{g}.
  • Substituindo v_0=50\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}: R_{\max}=\frac{50^{2}}{9{,}8}=\frac{2500}{9{,}8}.
  • Cálculo numérico aproximado: como 9{,}8\times255{,}1020408\approx2500, temos R_{\max}\approx255{,}1\\ \mathrm{m}.Explicação de arredondamento: mantive três dígitos significativos no resultado prático.

Passo 7

Calcular o tempo de voo correspondente ao alcance máximo.
  • Use a fórmula do tempo total de voo com \theta=\pi/4: T=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.
  • Como \sin(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então T=\frac{2v_0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{g}=\frac{v_0\sqrt{2}}{g}.
  • Substituindo v_0=50\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}: T=\frac{50\sqrt{2}}{9{,}8}.
  • Cálculo numérico: \sqrt{2}\approx1{,}41421356 então o numerador é \approx70{,}7107. Dividindo por 9{,}8 T\approx7{,}21\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Resumo rápido e checagem física:
  • Ângulo 45^\circ é intuitivo porque distribui igualmente a velocidade entre vertical e horizontal, maximizando o produto necessário para alcance.
  • As unidades conferem: alcance em metros e tempo em segundos.
  • Resultado numérico final com as aproximações usadas está coerente com ordens de grandeza esperadas.

Resposta

(a) \theta=\dfrac{\pi}{4}=45^\circ
(b) R_{\max}\approx255{,}1\\ \mathrm{m}
(c) T\approx7{,}21\\ \mathrm{s}

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