Um objeto é lançado com velocidade inicial fixa de
. Determine:
a) o ângulo que produz alcance máximo;
b) o alcance máximo obtido;
c) o tempo correspondente de voo.
a) o ângulo que produz alcance máximo;
b) o alcance máximo obtido;
c) o tempo correspondente de voo.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Informação dada: velocidade inicial fixa
. - Informação não fornecida explicitamente: aceleração da gravidade. Aqui vamos assumir
(valor padrão). - O que pedir:
(a) o ânguloque produz alcance máximo;
(b) o valor do alcance máximo;
(c) o tempo de voo correspondente a esse alcance máximo.
Passo 2
Vamos definir as variáveis e as equações de movimento (componentes do lançamento), explicando tudo passo a passo.
- Ao lançar com velocidade inicial
formando um ângulo com a horizontal, as componentes da velocidade inicial são: Explicação: é a componente horizontal (porque multiplica o cosseno) e é a componente vertical (porque multiplica o seno). - Movimento horizontal: não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), então a posição horizontal em função do tempo
é - Movimento vertical: sofre aceleração
. A posição vertical relativa ao ponto de lançamento é Explicação: termo linear vem da velocidade inicial vertical e termo quadrático vem da aceleração gravitacional.
Passo 3
Determinar o tempo total de voo
em função de
.
- O tempo total de voo (até retornar ao mesmo nível vertical de lançamento) é o
tal que . Igualando: - Fatorando
: As soluções são (instante inicial) e Explicação: essa fórmula é muito usada em lançamentos — a subida leva tempo e a descida o mesmo tempo, totalizando o dobro.
Passo 4
Determinar o alcance
(distância horizontal percorrida até voltar ao nível de lançamento) em função de
.
- O alcance é
com do passo anterior. Assim: - Reorganizando:
- Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma clássica Explicação: isso mostra que o alcance depende de apenas através de .
Passo 5
Encontrar o ângulo
que maximiza
.
- A função
tem valores entre e . Para obter máximo, queremos o mais alto possível, isto é . - Logo a condição é
Tomando a solução principal no intervalo (ângulos de lançamento usuais), temos - Em graus, isso é
.
Comentário didático: não é necessário derivar; basta saber que a função seno atinge 1 em. Se preferir calcular com derivada, obteria o mesmo resultado.
Passo 6
Calcular o alcance máximo substituindo
na expressão de
.
- Como
, o alcance máximo é - Substituindo
e : - Cálculo numérico aproximado: como
, temos Explicação de arredondamento: mantive três dígitos significativos no resultado prático.
Passo 7
Calcular o tempo de voo correspondente ao alcance máximo.
- Use a fórmula do tempo total de voo com
: - Como
, então - Substituindo
e : - Cálculo numérico:
então o numerador é . Dividindo por dá
Passo 8
Resumo rápido e checagem física:
- Ângulo
é intuitivo porque distribui igualmente a velocidade entre vertical e horizontal, maximizando o produto necessário para alcance. - As unidades conferem: alcance em metros e tempo em segundos.
- Resultado numérico final com as aproximações usadas está coerente com ordens de grandeza esperadas.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)