A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal
é dada por
, onde
está em metros por segundo ao quadrado e
em segundos. Em
, o vetor posição
indica a localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade
. Em
, determine o ângulo entre a direção do movimento e o semieixo
positivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo num plano horizontal, com uma aceleração que varia com o tempo. A pergunta quer saber qual é o ângulo entre a direção do movimento da partícula e o eixo positivo do $ x $ depois de 4 segundos. Para isso, vamos precisar entender como a aceleração afeta a velocidade e usar um pouco de trigonometria para achar o ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a taxa de variação da velocidade. A fórmula geral para a velocidade em função do tempo é:
Aqui,
é a velocidade inicial e
é a aceleração.
Passo 3
A gente sabe que a aceleração é dada por:
Então, para encontrar a velocidade em qualquer tempo $ t $, vamos integrar cada componente da aceleração em relação ao tempo.
Passo 4
Vamos integrar a componente $ x $ da aceleração:
Sabemos que a velocidade inicial na direção $ x $ é $ v_{0x} = 5, m/s $, então:
Passo 5
Agora, vamos integrar a componente $ y $ da aceleração:
Sabemos que a velocidade inicial na direção $ y $ é $ v_{0y} = 2, m/s $, então:
Passo 6
Agora que temos as expressões para $ v_x(t) $ e $ v_y(t) $, vamos calcular a velocidade nos $ 4, segundos $:
Passo 7
Agora, para encontrar o ângulo $ \theta $ entre a direção do movimento e o eixo positivo do $ x $, usamos a função tangente:
Então,
Passo 8
Vamos calcular o valor de $ \theta $ usando uma calculadora:
Resposta
O ângulo entre a direção do movimento e o eixo positivo do $ x $ em $ t = 4, segundos $ é aproximadamente $ 31,5^\circ $.