A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal xy é dada por a=3 t i+4 j, onde a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Em t=0, o vetor posição r=(20,0 m) i+(40,0 m) j indica a localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade v=(5,00 m / s) i+(2,00 m / s) j. Em t=4,00 s, determine o ângulo entre a direção do movimento e o semieixo x positivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo num plano horizontal, com uma aceleração que varia com o tempo. A pergunta quer saber qual é o ângulo entre a direção do movimento da partícula e o eixo positivo do $ x $ depois de 4 segundos. Para isso, vamos precisar entender como a aceleração afeta a velocidade e usar um pouco de trigonometria para achar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a taxa de variação da velocidade. A fórmula geral para a velocidade em função do tempo é:
v(t) = v0 + integral a(t) , dt
Aqui, v0 é a velocidade inicial e a(t) é a aceleração.

Passo 3

A gente sabe que a aceleração é dada por:
a(t) = 3t, i + 4, j
Então, para encontrar a velocidade em qualquer tempo $ t $, vamos integrar cada componente da aceleração em relação ao tempo.

Passo 4

Vamos integrar a componente $ x $ da aceleração:
x
Sabemos que a velocidade inicial na direção $ x $ é $ v_{0x} = 5, m/s $, então:
vx(t) = v0x + integral 3t , dt = v0x + 32t^2

Passo 5

Agora, vamos integrar a componente $ y $ da aceleração:
y
Sabemos que a velocidade inicial na direção $ y $ é $ v_{0y} = 2, m/s $, então:
vy(t) = v0y + integral 4 , dt = v0y + 4t

Passo 6

Agora que temos as expressões para $ v_x(t) $ e $ v_y(t) $, vamos calcular a velocidade nos $ 4, segundos $:
vx(t)
vy(t)

Passo 7

Agora, para encontrar o ângulo $ \theta $ entre a direção do movimento e o eixo positivo do $ x $, usamos a função tangente:
theta
Então,
x

Passo 8

Vamos calcular o valor de $ \theta $ usando uma calculadora:
theta

Resposta

O ângulo entre a direção do movimento e o eixo positivo do $ x $ em $ t = 4, segundos $ é aproximadamente $ 31,5^\circ $.

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