Uma onda que se propaga ao longo de uma corda é descrita por
sen (
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Determine a componente y do deslocamento da corda
e
.
Determine a componente y do deslocamento da corda
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de ondas que se propagam em uma corda. A gente tem uma função que descreve essa onda: $ y(x, t) = a \sin(\pi b x + q t) $. Os valores dados são:
- Amplitude $ a = 30 $ mm
- $ b = 0,33 $ m
- $ q = 10,47 $ s
A gente precisa encontrar o deslocamento vertical $ y $ da corda quando $ x = 0,500 $ m e $ t = 1,60 $ s. Para isso, vamos usar a função da onda e substituir esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da onda: $ y(x, t) = a \sin(\pi b x + q t) $.
- $ y(x, t) $ é o deslocamento vertical na posição $ x $ e no tempo $ t $.
- $ a $ é a amplitude da onda, ou seja, a altura máxima que a corda alcança.
- $ \pi b x $ e $ q t $ são os termos que envolvem a posição e o tempo, respectivamente.
Nossa missão é substituir $ x $ e $ t $ pelos valores dados na fórmula.
Passo 3
Vamos substituir os valores de $ x $ e $ t $ na equação:
Agora, vamos calcular dentro do seno primeiro.
Passo 4
Calculando os termos dentro do seno:
- Multiplicando $ \pi \times 0,33 \times 0,500 $:
- Multiplicando $ 10,47 \times 1,60 $:
Agora, somamos os dois resultados:
Passo 5
Vamos calcular $ 0,165\pi $:
Somando com 16,752:
Então, a expressão dentro do seno fica aproximadamente 17,271 radianos.
Passo 6
Agora, vamos calcular o seno de 17,271 radianos:
Como 17,271 radianos é equivalente a aproximadamente 2,748 ciclos completos (já que $ 2\pi $ radianos é um ciclo), podemos considerar o seno nesse ponto específico. Utilizando uma calculadora:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos a amplitude pela função seno calculada:
Resposta
O deslocamento vertical da corda em $ x = 0,500 $ m e $ t = 1,60 $ s é aproximadamente -4,26 mm.