Uma onda que se propaga ao longo de uma corda é descrita por y(x, t)=a sen ( pi b x+ q t ), com a=30 mm, b=0,33 m^-1 e q=10,47 s^-1.
Determine a componente y do deslocamento da corda em x=0,500 m e t=1,60 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de ondas que se propagam em uma corda. A gente tem uma função que descreve essa onda: $ y(x, t) = a \sin(\pi b x + q t) $. Os valores dados são:
  • Amplitude $ a = 30 $ mm
  • $ b = 0,33 $ m y(x, t) = a sin(pi b x + q t)
  • $ q = 10,47 $ s a = 30
A gente precisa encontrar o deslocamento vertical $ y $ da corda quando $ x = 0,500 $ m e $ t = 1,60 $ s. Para isso, vamos usar a função da onda e substituir esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da onda: $ y(x, t) = a \sin(\pi b x + q t) $.
  • $ y(x, t) $ é o deslocamento vertical na posição $ x $ e no tempo $ t $.
  • $ a $ é a amplitude da onda, ou seja, a altura máxima que a corda alcança.
  • $ \pi b x $ e $ q t $ são os termos que envolvem a posição e o tempo, respectivamente.
Nossa missão é substituir $ x $ e $ t $ pelos valores dados na fórmula.

Passo 3

Vamos substituir os valores de $ x $ e $ t $ na equação:
x
Agora, vamos calcular dentro do seno primeiro.

Passo 4

Calculando os termos dentro do seno:
  1. Multiplicando $ \pi \times 0,33 \times 0,500 $:
pi times 0,33 times 0,500
  1. Multiplicando $ 10,47 \times 1,60 $:
pi times 0,33 times 0,500 = pi times 0,165 = 0,165pi
Agora, somamos os dois resultados:
10,47 times 1,60

Passo 5

Vamos calcular $ 0,165\pi $:
0,165pi
Somando com 16,752:
0,165 times 3,1416 approx 0,519
Então, a expressão dentro do seno fica aproximadamente 17,271 radianos.

Passo 6

Agora, vamos calcular o seno de 17,271 radianos:
sin(17,271)
Como 17,271 radianos é equivalente a aproximadamente 2,748 ciclos completos (já que $ 2\pi $ radianos é um ciclo), podemos considerar o seno nesse ponto específico. Utilizando uma calculadora:
2pi

Passo 7

Finalmente, multiplicamos a amplitude pela função seno calculada:
y = 30 , mm times (-0,142)
y approx -4,26 , mm

Resposta

O deslocamento vertical da corda em $ x = 0,500 $ m e $ t = 1,60 $ s é aproximadamente -4,26 mm.

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