A aceleração de uma partícula que se move em um plano horizontal xy é dada por a=(3 t i+4 t j), em que a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Em t=0, o vetor posição r=(20,00 m) i+(40,0 m) j indica a localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade v=(5,00 m / s) i+ (2,00 m / s) j. Em t=4,00 s, determine o vetor posição na notação dos vetores unitários.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a aceleração da partícula no plano xy é
a(t) = 3t,i + 4t,j
e que em r(0) = 20,i + 40,j, v(0) = 5,i + 2,j temos
O que cai aqui é cinemática vetorial: integração de aceleração para achar velocidade e depois outra integração para achar posição. Vamos precisar conhecer as ideias de “constante de integração” e como usar a condição inicial para achá-las.

Passo 2

Primeiro, integramos para obter .
Em componentes:
.
.

Passo 3

Usamos a velocidade inicial para achar v(t) = l(tfrac32,t^2 + 5r)i + l(2,t^2 + 2r)j e .
Como , temos:


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Passo 4

Agora integramos x(t) = integral l(tfrac32,t^2 + 5r),dt = tfrac32cdottfract^33 + 5t + Dx = tfrac12,t^3 + 5t + Dx para achar y(t) = integral l(2,t^2 + 2r),dt = 2cdottfract^33 + 2t + Dy = tfrac23,t^3 + 2t + Dy .
Em x:
Em y:

Passo 5

Usamos a posição inicial r(t) = l(tfrac12,t^3 + 5t + 20r)i + l(tfrac23,t^3 + 2t + 40r)j para achar e :
,
.
Então

Passo 6

Basta agora avaliar em x(4) = tfrac12cdot 4^3 + 5cdot4 + 20 = tfrac12cdot64 + 20 + 20 = 32 + 40 = 72, :
y(4) = tfrac23cdot 4^3 + 2cdot4 + 40 = tfrac23cdot64 + 8 + 40 = tfrac1283 + 48 = tfrac128 + 1443 = tfrac2723 approx 90,67

Resposta

boxed r(4) = 72,i + 2723,j (metros)

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