A aceleração de uma partícula percorrendo uma linha reta é a=14s^1/2 m/s^2, em que s é dado em metros. Se v=0, s=1 m quando t=0, determine a velocidade da partícula em s=2 m.

Passo 1

Então, o enunciado diz que uma partícula anda numa reta e tem aceleração
a(s)=14,s^1/2(m/s²),²
sendo s a posição em metros. Sabemos também que em t=0, a partícula está em s=1,m com velocidade v=0. O objetivo é achar a velocidade quando s=2,m.
Conteúdo envolvido: cinemática (aceleração não constante), regra da cadeia ( a=dv/dt=(dv/ds)(ds/dt)) e integração para separar variáveis.

Passo 2

Lembra que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a=dvdt
Usando a regra da cadeia, como s é função de t, a gente escreve
dvdt=dvds,dsdt
e sabe que dsdt=v. Logo
a = v,dvds
Mas a(s) já está dado, então substituímos:
v,dvds = 14,s^1/2

Passo 3

Agora é separar variáveis e integrar dos dois lados:
v,dv = 14,s^1/2,ds
Integramos:
$$\int v,dv = \int \frac14,s^{1/2},ds
;\Longrightarrow; \frac{v^2}{2} = \frac14\cdot\frac{2}{3},s^{3/2} + C
;\Longrightarrow; \frac{v^2}{2} = \frac{1}{6},s^{3/2} + C.$$

Passo 4

Usamos a condição inicial ( s=1, v=0) pra achar C:
0 = 16cdot1^3/2 + C Longrightarrow C = -16
Substituindo de volta:
$$\frac{v^2}{2} = \frac{1}{6},s^{3/2} - \frac{1}{6}
;\Longrightarrow; v^2 = \frac{1}{3},s^{3/2} - \frac{1}{3}.$$

Passo 5

Agora põe s=2:
s^3/2 = 2^3/2 = 2raiz2,
então
$$v^2 = \frac{1}{3},(2\sqrt2) - \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt2 -1}{3}
\quad\Longrightarrow\quad
v = \sqrt{\frac{2\sqrt2 -1}{3}}\ m/s.$$

Resposta

v = raiz2raiz2 - 13 m/sapprox0,78 m/s$

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