A aceleração de uma partícula percorrendo uma linha reta é
, em que
é dado em metros. Se
,
quando
, determine a velocidade da partícula em
.
Passo 1
Então, o enunciado diz que uma partícula anda numa reta e tem aceleração
sendo
Conteúdo envolvido: cinemática (aceleração não constante), regra da cadeia (
Passo 2
Lembra que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Usando a regra da cadeia, como
e sabe que
. Logo
Mas
Passo 3
Agora é separar variáveis e integrar dos dois lados:
Integramos:
$$\int v,dv = \int \frac14,s^{1/2},ds
;\Longrightarrow; \frac{v^2}{2} = \frac14\cdot\frac{2}{3},s^{3/2} + C
;\Longrightarrow; \frac{v^2}{2} = \frac{1}{6},s^{3/2} + C.$$
Passo 4
Usamos a condição inicial (
,
) pra achar
:
Substituindo de volta:
$$\frac{v^2}{2} = \frac{1}{6},s^{3/2} - \frac{1}{6}
;\Longrightarrow; v^2 = \frac{1}{3},s^{3/2} - \frac{1}{3}.$$
Passo 5
Agora põe
:
então
$$v^2 = \frac{1}{3},(2\sqrt2) - \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt2 -1}{3}
\quad\Longrightarrow\quad
v = \sqrt{\frac{2\sqrt2 -1}{3}}\ m/s.$$