Seja v=vx l+vy jmath o vetor que representa um raio de luz que incide sobre um espelho plano.
Use seu resultado de (b) para mostrar que o raio de luz inverte sua direção de incidência após ser refletido por dois espelhos planos perpendiculares.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um vetor de luz
u' = u ;-; 2,(ucdot n),n
que incide em dois espelhos planos perpendiculares entre si.
O que a gente quer mostrar é que, depois de refletir em ambos, o raio sai exatamente invertido, ou seja, vira .
Conteúdo: reflexão de vetores em espelhos.
Vamos precisar do resultado de (b), que é a fórmula geral de reflexão de um vetor em um plano de normal unitária :

Passo 2

Antes de tudo, entenda a fórmula de reflexão.
  • é o vetor incidente.
  • é o vetor normal ao espelho, com .
  • A componente de ao longo de é .
    Refletir significa inverter essa componente, por isso subtraímos duas vezes:

Passo 3

Vamos chamar o primeiro espelho de “espelho X” cujo plano tem normal na direção v' = v - 2,(vcdot l),l = (vx,l + vy,jmath) - 2,(vx),l = -vx,l + vy,jmath .
Logo, .
Aplique a fórmula com e :
Ou seja, o espelho X inverte e deixa igual.

Passo 4

Agora o segundo espelho é “espelho Y” com plano normal em v'' = v' - 2,(v'!cdot jmath),jmath = (-vx,l + vy,jmath) - 2,(vy),jmath = -vx,l - vy,jmath .
Então .
Aplicamos reflexão sobre :
Aqui o espelho Y inverte e deixa igual (mas ele já estava com sinal trocado pelo espelho X).

Passo 5

Finalmente, junta tudo:
v'' = -vx,l - vy,jmath = -l(vx,l + vy,jmathr) = -v
Perfeito: o vetor saiu completamente invertido.

Resposta

O raio de luz depois de refletir nos dois espelhos perpendiculares fica .

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