Seja
o vetor que representa um raio de luz que incide sobre um espelho plano.
Use seu resultado de (b) para mostrar que o raio de luz inverte sua direção de incidência após ser refletido por dois espelhos planos perpendiculares.
Use seu resultado de (b) para mostrar que o raio de luz inverte sua direção de incidência após ser refletido por dois espelhos planos perpendiculares.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um vetor de luz
que incide em dois espelhos planos perpendiculares entre si.
O que a gente quer mostrar é que, depois de refletir em ambos, o raio sai exatamente invertido, ou seja, vira .
Conteúdo: reflexão de vetores em espelhos.
Vamos precisar do resultado de (b), que é a fórmula geral de reflexão de um vetor em um plano de normal unitária
:
que incide em dois espelhos planos perpendiculares entre si.
O que a gente quer mostrar é que, depois de refletir em ambos, o raio sai exatamente invertido, ou seja, vira
Conteúdo: reflexão de vetores em espelhos.
Vamos precisar do resultado de (b), que é a fórmula geral de reflexão de um vetor
Passo 2
Antes de tudo, entenda a fórmula de reflexão.
-
é o vetor incidente. -
é o vetor normal ao espelho, com . - A componente de
ao longo de é .
Refletir significa inverter essa componente, por isso subtraímos duas vezes:
Passo 3
Vamos chamar o primeiro espelho de “espelho X” cujo plano tem normal na direção
.
Logo, .
Aplique a fórmula com e
:
Logo,
Aplique a fórmula com
Ou seja, o espelho X inverte
e deixa
igual.
Passo 4
Agora o segundo espelho é “espelho Y” com plano normal em
.
Então .
Aplicamos reflexão sobre :
Então
Aplicamos reflexão sobre
Aqui o espelho Y inverte
e deixa
igual (mas ele já estava com sinal trocado pelo espelho X).
Passo 5
Finalmente, junta tudo:
Perfeito: o vetor saiu completamente invertido.
Resposta
O raio de luz depois de refletir nos dois espelhos perpendiculares fica
.