Determine o tempo necessário para um carro percorrer 1 km ao longo de uma estrada se o carro parte do repouso, alcança uma velocidade máxima em algum ponto intermediário e depois para no final da estrada. O carro pode acelerar a 1,5 m/s^2 e desacelerar a 2 m/s^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e o que vamos precisar para resolver.
Enunciado resumido: Queremos descobrir quanto tempo um carro leva para percorrer 1 km, começando do repouso, acelerando até uma velocidade máxima e depois desacelerando até parar no final da estrada. As acelerações dadas são 1,5 , m/s^2 para acelerar e 2 , m/s^2 para desacelerar.
Conteúdo da matéria: Cinemática básica, que envolve movimentos de aceleração e desaceleração.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas de movimento uniformemente acelerado.
  • Entender como calcular tempo e distância em fases de aceleração e desaceleração.
  • Saber que a distância total é a soma das distâncias nas duas fases.

Passo 2

Vamos dividir o movimento do carro em duas partes:
  1. Aceleração: O carro parte do repouso (velocidade inicial v0 = 0) e acelera a 1,5 , m/s^2 até atingir a velocidade máxima v.
  2. Desaceleração: Após atingir a velocidade máxima v, o carro começa a desacelerar a 2 , m/s^2 até parar novamente ( vf = 0).
Nossa meta é encontrar o tempo total dessas duas fases.

Passo 3

Primeiro, vamos descobrir quanto tempo o carro leva para acelerar até a velocidade máxima v.
Usamos a fórmula do movimento uniformemente acelerado para velocidade:
v = v0 + a cdot ta
Onde:
  • v é a velocidade máxima,
  • v0 = 0 (partida do repouso),
  • a = 1,5 , m/s^2 (aceleração),
  • ta é o tempo de aceleração.
Rearranjando para encontrar ta:
ta = va = v1,5

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância percorrida durante a aceleração. Usamos a fórmula:
sa = v0 cdot ta + 12 a cdot ta^2
Como v0 = 0:
sa = 12 cdot 1,5 cdot ta^2 = 0,75 cdot ta^2
Substituindo ta = v1,5:
sa = 0,75 cdot ( v1,5 )^2 = 0,75 cdot v^22,25 = 0,752,25 cdot v^2 = 13 v^2

Passo 5

Agora, vamos para a fase de desaceleração. Queremos calcular o tempo que leva para o carro parar a partir da velocidade v com desaceleração 2 , m/s^2.
Usamos a fórmula:
vf = v - ad cdot td
Onde:
  • vf = 0,
  • ad = 2 , m/s^2,
  • td é o tempo de desaceleração.
Rearranjando para td:
td = vad = v2

Passo 6

Vamos calcular a distância percorrida durante a desaceleração usando:
sd = v cdot td - 12 ad cdot td^2
Substituindo td = v2:
sd = v cdot v2 - 12 cdot 2 cdot ( v2 )^2 = v^22 - 12 cdot 2 cdot v^24 = v^22 - v^24 = v^24

Passo 7

Sabemos que a distância total percorrida é de 1 km, que é 1000 , m. Então:
sa + sd = 1000
Substituindo sa = v^23 e sd = v^24:
v^23 + v^24 = 1000
Para somar as frações, encontramos um denominador comum:
4v^2 + 3v^212 = 7v^212 = 1000
Então:
v^2 = 1000 cdot 127 = 120007 approx 1714,29
v = raiz1714,29 approx 41,42 , m/s

Passo 8

Agora que temos a velocidade máxima v approx 41,42 , m/s, vamos calcular os tempos de aceleração e desaceleração.
Para aceleração:
ta = v1,5 = 41,421,5 approx 27,61 , s
Para desaceleração:
td = v2 = 41,422 approx 20,71 , s

Passo 9

Finalmente, somamos os tempos de aceleração e desaceleração para obter o tempo total:
ttotal = ta + td approx 27,61 , s + 20,71 , s approx 48,32 , s

Resposta

O tempo necessário para o carro percorrer 1 km é aproximadamente 48,3 segundos.

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