A aceleração de uma partícula é
. Condições iniciais:
. Determine:
(a) Velocidade em função do tempo;
(b) Posição em função do tempo.
(a) Velocidade em função do tempo;
(b) Posição em função do tempo.
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pede duas coisas.
-
Dados fornecidos:
- A aceleração da partícula é
, onde é uma constante. - Condições iniciais:
e .
- A aceleração da partícula é
-
O que o exercício pede:
- (a) Determinar a velocidade em função do tempo, isto é
. - (b) Determinar a posição em função do tempo, isto é
.
- (a) Determinar a velocidade em função do tempo, isto é
Passo 2
Entendendo a relação entre as grandezas (pequulaaula):
- A aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em notação:
. Isso significa que para obter a velocidade a partir da aceleração devemos integrar em relação ao tempo. - Integração indefinida e constante de integração: se
, então , onde é uma constante que será determinada pela condição inicial de velocidade.
Agora aplicamos isso ao nosso caso. Começamos integrando
para obter
.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo.
Como
é constante, pode sair da integral:
Aplicando a regra da potência para integrais:
. Aqui
, então
Portanto
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Logo
Passo 4
Verificação rápida (útil na prova): derivando
obtém-se a aceleração original:
que é exatamente
. Assim a solução está consistente.
Passo 5
Agora vamos obter a posição
. Sabendo que a velocidade é a derivada da posição:
. Para achar
integramos
em relação ao tempo e aplicamos a condição inicial
.
Integração:
Integrando termo a termo:
A primeira integral é
. A segunda, pela regra da potência com
, é
. Assim
Usamos
para achar
:
Portanto
Passo 6
Verificação final rápida:
- Diferenciando
obtemos , coincide com o Passo 3. - Diferenciando novamente obtemos
, que é o enunciado. Tudo consistente.
Dica de prova: escreva sempre as relações diferenciaise , integre cuidadosamente e use as condições iniciais para achar constantes. Vai dar certo — você consegue!
Resposta
(a)
(b)
(b)