A aceleração de uma partícula é a(t)=k t. Condições iniciais: v(0)=v_{0}, x(0)=x_{0}. Determine:
(a) Velocidade em função do tempo;
(b) Posição em função do tempo.

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados fornecidos:
    • A aceleração da partícula é \,a(t)=k\,t\,, onde k é uma constante.
    • Condições iniciais: \,v(0)=v_{0}\, e \,x(0)=x_{0}\,.
  • O que o exercício pede:
    • (a) Determinar a velocidade em função do tempo, isto é \,v(t)\,.
    • (b) Determinar a posição em função do tempo, isto é \,x(t)\,.

Passo 2

Entendendo a relação entre as grandezas (pequulaaula):
  • A aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em notação: \,a(t)=\dfrac{dv}{dt}\,. Isso significa que para obter a velocidade a partir da aceleração devemos integrar em relação ao tempo.
  • Integração indefinida e constante de integração: se \dfrac{dv}{dt}=f(t), então \,v(t)=\int f(t)\,dt + C, onde C é uma constante que será determinada pela condição inicial de velocidade.
Agora aplicamos isso ao nosso caso. Começamos integrando \,a(t)=k\,t\, para obter \,v(t)\,.

Passo 3

Cálculo de \,v(t)\, passo a passo.
v(t)=\int a(t)\,dt=\int k\,t\,dt.
Como k é constante, pode sair da integral:
v(t)=k\int t\,dt.
Aplicando a regra da potência para integrais: \int t^n\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n=1, então
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}.
Portanto
v(t)=k\cdot\frac{t^{2}}{2}+C=\frac{k}{2}\,t^{2}+C.
Usamos a condição inicial \,v(0)=v_{0}\, para determinar C. Substituindo t=0:
v(0)=\frac{k}{2}\cdot 0^{2}+C = C = v_{0}.
Logo
\boxed{v(t)=v_{0}+\frac{k}{2}\,t^{2}.}

Passo 4

Verificação rápida (útil na prova): derivando \,v(t)\, obtém-se a aceleração original:
\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(v_{0}+\frac{k}{2}t^{2}\right)=\frac{k}{2}\cdot 2t = k\,t,
que é exatamente \,a(t)\,. Assim a solução está consistente.

Passo 5

Agora vamos obter a posição \,x(t)\,. Sabendo que a velocidade é a derivada da posição: \,v(t)=\dfrac{dx}{dt}\,. Para achar \,x(t)\, integramos \,v(t)\, em relação ao tempo e aplicamos a condição inicial \,x(0)=x_{0}\,.
Integração:
x(t)=\int v(t)\,dt = \int\left(v_{0}+\frac{k}{2}t^{2}\right)dt.
Integrando termo a termo:
x(t)=\int v_{0}\,dt + \frac{k}{2}\int t^{2}\,dt.
A primeira integral é v_{0}t. A segunda, pela regra da potência com n=2, é \dfrac{t^{3}}{3}. Assim
x(t)=v_{0}t + \frac{k}{2}\cdot\frac{t^{3}}{3} + C' = v_{0}t + \frac{k}{6}t^{3} + C'.
Usamos \,x(0)=x_{0}\, para achar C':
x(0)=v_{0}\cdot 0 + \frac{k}{6}\cdot 0^{3} + C' = C' = x_{0}.
Portanto
\boxed{x(t)=x_{0}+v_{0}t+\frac{k}{6}t^{3}.}

Passo 6

Verificação final rápida:
  • Diferenciando \,x(t)\, obtemos \,v(t)=\dfrac{dx}{dt}=v_{0}+\dfrac{k}{2}t^{2}, coincide com o Passo 3.
  • Diferenciando novamente obtemos \,a(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=k\,t, que é o enunciado. Tudo consistente.
    Dica de prova: escreva sempre as relações diferenciais \,a=\dfrac{dv}{dt} e \,v=\dfrac{dx}{dt}, integre cuidadosamente e use as condições iniciais para achar constantes. Vai dar certo — você consegue!

Resposta

(a) v(t)=v_{0}+\dfrac{k}{2}\,t^{2}
(b) x(t)=x_{0}+v_{0}t+\dfrac{k}{6}\,t^{3}

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