Dois móveis partem simultaneamente de pontos diferentes. O móvel A parte da origem com velocidade constante
. O móvel B parte da posição
com velocidade constante
no mesmo sentido. Determine o instante de encontro.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O móvel A parte da origem, ou seja, a posição inicial de A é
. - O móvel B parte da posição
, ou seja, a posição inicial de B é . - Ambos têm velocidades constantes e no mesmo sentido: as velocidades são
e .
O que o problema pede: - Determinar o instante de encontro, isto é, o tempo
(com ) em que as posições de A e B são iguais.
Passo 2
Escolhendo um referencial e um sentido positivo para o movimento (esse passo é só para ficar claro como escrever as posições): como A parte da origem, tomo o eixo
com
na origem e o sentido do movimento como positivo. Com velocidade constante, a posição de cada móvel varia linearmente com o tempo segundo a fórmula geral
onde
é a posição inicial e
é a velocidade constante. Vou aplicar isso para cada móvel.
Passo 3
Escrevo explicitamente as funções posição de cada móvel:
Explicação curta: como
e
são constantes, a posição é inicial mais velocidade vezes tempo.
Passo 4
O encontro ocorre quando as posições são iguais, isto é, quando
Substituindo as expressões:
Agora resolvo essa equação para
. Primeiro passo: passar os termos com
para um lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Se
, isolo
:
Na manipulação acima foi usado apenas álgebra básica (somar/subtrair termos e fatorar).
Passo 5
Interpretação física e condições de validade:
- A fórmula
só faz sentido se . Se então a equação original fica , ou seja, . Assim: - Se
e : os dois partem do mesmo ponto com a mesma velocidade — estão sempre juntos (encontro trivial em e continuam juntos). - Se
e : as posições permanecem sempre separadas pela mesma distância — nunca se encontram.
- Se
- Quando
, a expressão produz um número que pode ser positivo, zero ou negativo. Como queremos encontro no futuro ( ), é necessário que
Isto significa que o numerador
e o denominador
devem ter o mesmo sinal ou um deles ser zero (caso
o encontro ocorre em
).
- Interpretação mais intuitiva usando velocidade relativa: o tempo de encontro é a separação inicial dividida pela velocidade relativa entre A e B. A velocidade relativa de A em relação a B é
logo
Para haver encontro no futuro, a velocidade relativa deve reduzir a separação inicial (ou seja, devem ter sinais que façam a razão não-negativa).
Passo 6
Casos práticos (para fixar a ideia):
- Suponha
m, m/s e m/s. Então
ou seja, A alcança B em
s (A é mais rápido e parte atrás).
- Se
m, m/s e m/s, então m/s e s, um tempo negativo: isso significa que no futuro (para ) não haverá encontro — na verdade B está se afastando de A.
Passo 7
Dica rápida para a prova (como checar rápido): escreva
e
, iguale e resolva. Verifique sempre o sinal do denominador e que o resultado é
. Se
olhe para
.
Resposta
Se
e
, então
Se
e
, encontram-se para todo
(estão juntos desde
).
Se e
, não há encontro (para
).
Se