Dois móveis partem simultaneamente de pontos diferentes. O móvel A parte da origem com velocidade constante v_{A}. O móvel B parte da posição x_{0} com velocidade constante v_{B} no mesmo sentido. Determine o instante de encontro.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O móvel A parte da origem, ou seja, a posição inicial de A é x_A(0)=0.
  • O móvel B parte da posição x_{0}, ou seja, a posição inicial de B é x_B(0)=x_{0}.
  • Ambos têm velocidades constantes e no mesmo sentido: as velocidades são v_{A} e v_{B}.
    O que o problema pede:
  • Determinar o instante de encontro, isto é, o tempo t (com t\ge 0) em que as posições de A e B são iguais.

Passo 2

Escolhendo um referencial e um sentido positivo para o movimento (esse passo é só para ficar claro como escrever as posições): como A parte da origem, tomo o eixo x com x=0 na origem e o sentido do movimento como positivo. Com velocidade constante, a posição de cada móvel varia linearmente com o tempo segundo a fórmula geral
x(t)=x(0)+v\,t,
onde x(0) é a posição inicial e v é a velocidade constante. Vou aplicar isso para cada móvel.

Passo 3

Escrevo explicitamente as funções posição de cada móvel:
x_A(t)=0+v_{A}t=\;v_{A}t,
x_B(t)=x_{0}+v_{B}t.
Explicação curta: como v_A e v_B são constantes, a posição é inicial mais velocidade vezes tempo.

Passo 4

O encontro ocorre quando as posições são iguais, isto é, quando
x_A(t)=x_B(t).
Substituindo as expressões:
v_{A}t = x_{0}+v_{B}t.
Agora resolvo essa equação para t. Primeiro passo: passar os termos com t para um lado:
v_{A}t - v_{B}t = x_{0}.
Fatorando t no lado esquerdo:
(v_{A}-v_{B})t = x_{0}.
Se v_{A}-v_{B}\neq 0, isolo t:
t = \dfrac{x_{0}}{v_{A}-v_{B}}.
Na manipulação acima foi usado apenas álgebra básica (somar/subtrair termos e fatorar).

Passo 5

Interpretação física e condições de validade:
  • A fórmula t=\dfrac{x_{0}}{v_{A}-v_{B}} só faz sentido se v_{A}\neq v_{B}. Se v_{A}=v_{B} então a equação original fica v_{A}t = x_{0}+v_{A}t, ou seja, x_{0}=0. Assim:
    • Se v_{A}=v_{B} e x_{0}=0: os dois partem do mesmo ponto com a mesma velocidade — estão sempre juntos (encontro trivial em t=0 e continuam juntos).
    • Se v_{A}=v_{B} e x_{0}\neq 0: as posições permanecem sempre separadas pela mesma distância — nunca se encontram.
  • Quando v_{A}\neq v_{B}, a expressão produz um número que pode ser positivo, zero ou negativo. Como queremos encontro no futuro ( t\ge 0), é necessário que
\dfrac{x_{0}}{v_{A}-v_{B}}\ge 0.
Isto significa que o numerador x_{0} e o denominador v_{A}-v_{B} devem ter o mesmo sinal ou um deles ser zero (caso x_{0}=0 o encontro ocorre em t=0).
  • Interpretação mais intuitiva usando velocidade relativa: o tempo de encontro é a separação inicial dividida pela velocidade relativa entre A e B. A velocidade relativa de A em relação a B é
v_{\text{rel}}=v_{A}-v_{B},
logo
t=\dfrac{x_{0}}{v_{\text{rel}}}.
Para haver encontro no futuro, a velocidade relativa deve reduzir a separação inicial (ou seja, devem ter sinais que façam a razão não-negativa).

Passo 6

Casos práticos (para fixar a ideia):
  • Suponha x_{0}=100 m, v_{A}=10 m/s e v_{B}=8 m/s. Então
t=\dfrac{100}{10-8}=\dfrac{100}{2}=50\\ \text{s},
ou seja, A alcança B em 50 s (A é mais rápido e parte atrás).
  • Se x_{0}=100 m, v_{A}=7 m/s e v_{B}=8 m/s, então v_{A}-v_{B}=-1 m/s e t=100/(-1)=-100 s, um tempo negativo: isso significa que no futuro (para t\ge0) não haverá encontro — na verdade B está se afastando de A.

Passo 7

Dica rápida para a prova (como checar rápido): escreva x_A(t)=v_A t e x_B(t)=x_0+v_B t, iguale e resolva. Verifique sempre o sinal do denominador e que o resultado é t\ge 0. Se v_A=v_B olhe para x_0.

Resposta

Se v_{A}\neq v_{B} e \dfrac{x_{0}}{v_{A}-v_{B}}\ge 0, então t=\dfrac{x_{0}}{v_{A}-v_{B}}.
Se v_{A}=v_{B} e x_{0}=0, encontram-se para todo t (estão juntos desde t=0).
Se v_{A}=v_{B} e x_{0}\neq 0, não há encontro (para t\ge 0).

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