A aceleração de uma partícula é a(x)=k x. Sabendo que em x=x_{0}, v=v_{0}, determine v(x).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar exatamente o que está no problema):
É dada a aceleração como função da posição: a(x)=k x.
É informado que, quando a partícula está em x=x_{0}, sua velocidade é v=v_{0}.
O que se pede: determinar a velocidade v como função da posição x, isto é, encontrar v(x).
Passo 2
Entendendo as relações entre aceleração, velocidade e posição (passo teórico importante).
A aceleração é definida como a derivada da velocidade em relação ao tempo: \displaystyle a=\frac{dv}{dt}.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: \displaystyle v=\frac{dx}{dt}.
Usando a regra da cadeia, podemos escrever \displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}. Como \displaystyle \frac{dx}{dt}=v, obtemos
\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}.
Essa identidade é útil quando a aceleração é dada como função de x: em vez de tratar uma equação em t, transformamos numa equação em x.
Passo 3
Substituir a expressão dada de a(x) na identidade encontrada.
A aceleração dada é \displaystyle a(x)=k x.
Igualando as duas expressões para a:
v\frac{dv}{dx}=k x.
Agora temos uma equação diferencial separável entre v e x.
Passo 4
Separar variáveis e integrar usando as condições iniciais (método direto e robusto para provas).
Separe as variáveis:
v\,dv = k x\,dx.
Integraremos de forma definida, usando os valores iniciais como limites, para que a constante de integração já fique determinada. Integramos de v_{0} a v do lado esquerdo e de x_{0} a x do lado direito:
\int_{v_{0}}^{v} v'\,dv' = \int_{x_{0}}^{x} k x'\,dx'.
(Usei primos v' e x' apenas para indicar as variáveis de integração.)
Sobre o sinal \pm: deve-se escolher o sinal que corresponde à direção real do movimento. Em geral, escolhe-se o sinal de acordo com a velocidade inicial v_{0} (por exemplo, se v_{0}>0 toma-se a raiz positiva para manter continuidade). Se v_{0}=0 a determinação do sinal pode depender da dinâmica (direção em que a partícula começa a se mover).
Passo 7
Comentário físico curto (ajuda a fixar a ideia).
A expressão obtida é análoga a uma conservação de energia para massa m=1: a variação de \tfrac{1}{2}v^{2} é igual à variação de \tfrac{k}{2}x^{2}, mostrando como a velocidade muda quando a partícula se desloca numa região onde a depende linearmente de x.