Dois projéteis são lançados simultaneamente do mesmo ponto com velocidades v_{1} e v_{2} e ângulos \theta_{1} e \theta_{2}. Determine a distância entre eles em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Dados fornecidos:
Dois projéteis são lançados simultaneamente do mesmo ponto no instante t=0.
O primeiro tem velocidade inicial \,v_{1}\, e ângulo de lançamento \,\theta_{1}\, (medido a partir da horizontal).
O segundo tem velocidade inicial \,v_{2}\, e ângulo de lançamento \,\theta_{2}\,.
A aceleração da gravidade é \,g\, atuando para baixo (vertical negativa).
O que é pedido:
Determinar a distância entre os dois projéteis em função do tempo t, ou seja encontrar uma expressão D(t) válida para t\ge 0.
Passo 2
Escolher um sistema de referência e escrever as posições paramétricas de cada projétil.
Eixo x: horizontal (positivo para frente).
Eixo y: vertical (positivo para cima).
Para um lançamento oblíquo sem resistência do ar, as componentes da velocidade inicial são: a componente horizontal \,v\cos\theta\, e a componente vertical \,v\sin\theta\,. A posição de um projétil lançado do ponto origem é então:
Observe algo importante: os termos -\tfrac{1}{2}gt^{2} aparecem em ambas as componentes y e portanto se cancelam na diferença. Isso significa que a aceleração gravitacional não contribui para a variação relativa — a diferença de posição cresce como se os projéteis se movessem com velocidades iniciais relativas constantes.
Passo 4
A distância entre os projéteis é o módulo do vetor diferença:
Comentário didático e prático: essa fórmula mostra que a distância entre os projéteis cresce linearmente com o tempo porque a aceleração relativa é nula (a gravidade afeta ambos igualmente). O fator dentro da raiz é simplesmente o quadrado da magnitude da diferença das velocidades iniciais; outra forma de ver é que \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-2v_{1}v_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}=\lVert \vec{v}_1-\vec{v}_2\rVert. Na prova, se pedirem a distância numérica, calcule primeiro \vec{v}_1-\vec{v}_2 em componentes ou use a identidade acima, depois multiplique por t.