Dois projéteis são lançados simultaneamente do mesmo ponto com velocidades v_{1} e v_{2} e ângulos \theta_{1} e \theta_{2}. Determine a distância entre eles em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos:
    • Dois projéteis são lançados simultaneamente do mesmo ponto no instante t=0.
    • O primeiro tem velocidade inicial \,v_{1}\, e ângulo de lançamento \,\theta_{1}\, (medido a partir da horizontal).
    • O segundo tem velocidade inicial \,v_{2}\, e ângulo de lançamento \,\theta_{2}\,.
    • A aceleração da gravidade é \,g\, atuando para baixo (vertical negativa).
  • O que é pedido:
    • Determinar a distância entre os dois projéteis em função do tempo t, ou seja encontrar uma expressão D(t) válida para t\ge 0.

Passo 2

Escolher um sistema de referência e escrever as posições paramétricas de cada projétil.
  • Eixo x: horizontal (positivo para frente).
  • Eixo y: vertical (positivo para cima).
    Para um lançamento oblíquo sem resistência do ar, as componentes da velocidade inicial são: a componente horizontal \,v\cos\theta\, e a componente vertical \,v\sin\theta\,. A posição de um projétil lançado do ponto origem é então:
x(t)=v\cos\theta\;t, \qquad y(t)=v\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}gt^{2}.
Aplicando isso aos dois projéteis obtemos as posições vetoriais (em componentes) para t\ge0:
\vec{r}_1(t)=\bigl(v_{1}\cos\theta_{1}\;t,\;v_{1}\sin\theta_{1}\;t-\tfrac{1}{2}gt^{2}\bigr),
\vec{r}_2(t)=\bigl(v_{2}\cos\theta_{2}\;t,\;v_{2}\sin\theta_{2}\;t-\tfrac{1}{2}gt^{2}\bigr).

Passo 3

Calcular o vetor diferença entre as posições: \,\Delta\vec{r}(t)=\vec{r}_1(t)-\vec{r}_2(t). Subtraindo componente a componente:
\Delta x(t)=\bigl(v_{1}\cos\theta_{1}-v_{2}\cos\theta_{2}\bigr)t,
\Delta y(t)=\bigl(v_{1}\sin\theta_{1}-v_{2}\sin\theta_{2}\bigr)t
Observe algo importante: os termos -\tfrac{1}{2}gt^{2} aparecem em ambas as componentes y e portanto se cancelam na diferença. Isso significa que a aceleração gravitacional não contribui para a variação relativa — a diferença de posição cresce como se os projéteis se movessem com velocidades iniciais relativas constantes.

Passo 4

A distância entre os projéteis é o módulo do vetor diferença:
D(t)=\bigl\lVert \Delta\vec{r}(t)\bigr\rVert =\sqrt{\bigl(\Delta x(t)\bigr)^{2}+\bigl(\Delta y(t)\bigr)^{2}}.
Substituindo \Delta x(t) e \Delta y(t):
D(t)=\sqrt{\bigl(v_{1}\cos\theta_{1}-v_{2}\cos\theta_{2}\bigr)^{2}t^{2} +\bigl(v_{1}\sin\theta_{1}-v_{2}\sin\theta_{2}\bigr)^{2}t^{2}}.
Fatorando t^{2} fora da raiz:
D(t)=t\sqrt{\bigl(v_{1}\cos\theta_{1}-v_{2}\cos\theta_{2}\bigr)^{2} +\bigl(v_{1}\sin\theta_{1}-v_{2}\sin\theta_{2}\bigr)^{2}}.

Passo 5

Agora simplificamos o termo dentro da raiz. Expandindo e somando os quadrados:
\begin{aligned} &\bigl(v_{1}\cos\theta_{1}-v_{2}\cos\theta_{2}\bigr)^{2} +\bigl(v_{1}\sin\theta_{1}-v_{2}\sin\theta_{2}\bigr)^{2} \\\ &\quad= v_{1}^{2}\bigl(\cos^{2}\theta_{1}+\sin^{2}\theta_{1}\bigr) +v_{2}^{2}\bigl(\cos^{2}\theta_{2}+\sin^{2}\theta_{2}\bigr) -2v_{1}v_{2}\bigl(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\bigr). \end{aligned}
Usando \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1 e a identidade trigonométrica
\cos(\theta_{1}-\theta_{2})=\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2},
obtemos
\bigl(\cdots\bigr)=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-2v_{1}v_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2}).

Passo 6

Substituindo esse resultado em D(t) temos a expressão final:
D(t)=t\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-2v_{1}v_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})},\qquad t\ge 0.
Comentário didático e prático: essa fórmula mostra que a distância entre os projéteis cresce linearmente com o tempo porque a aceleração relativa é nula (a gravidade afeta ambos igualmente). O fator dentro da raiz é simplesmente o quadrado da magnitude da diferença das velocidades iniciais; outra forma de ver é que \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-2v_{1}v_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}=\lVert \vec{v}_1-\vec{v}_2\rVert. Na prova, se pedirem a distância numérica, calcule primeiro \vec{v}_1-\vec{v}_2 em componentes ou use a identidade acima, depois multiplique por t.

Resposta

D(t)=t\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-2v_{1}v_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})},\qquad t\ge 0.

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