Considere uma regiāo no espaço onde um campo elétrico variável no tempo ê dado por:
之, onde D1 e D2 são constantes conhecidas.
a) Determine a densidade de corrente de deslocamento J_d nesta região.
b) Usando a Lei de Ampère-Maxwell, calcule o campo magnético B a uma distância
do eixo
, assumindo simetria cilindrica.
a) Determine a densidade de corrente de deslocamento J_d nesta região.
b) Usando a Lei de Ampère-Maxwell, calcule o campo magnético B a uma distância
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informação 1: um campo elétrico variável no tempo é dado por
, onde e são constantes conhecidas. - Informação 2: pede-se o campo magnético a uma distância
do eixo , assumindo simetria cilíndrica; é uma constante conhecida.
As perguntas são:
(a) Determinar a densidade de corrente de deslocamento nesta região.
(b) Usando a Lei de Ampère–Maxwell, calcular o campo magnético a
do eixo
, assumindo simetria cilíndrica.
(a) Determinar a densidade de corrente de deslocamento
(b) Usando a Lei de Ampère–Maxwell, calcular o campo magnético
Passo 2
Observação importante (assunção necessária porque o enunciado não especificou direções espaciais): para aproveitar a simetria cilíndrica pedida e poder aplicar a forma integral da Lei de Ampère–Maxwell de modo padrão, vou assumir que o campo elétrico é espacialmente uniforme e aponta ao longo do eixo
. Em notação vetorial isso significa:
Se o campo tivesse outra direção ou variação espacial, a solução mudaria; como o enunciado fala em simetria cilíndrica e pede
em função de
, essa é a hipótese natural.
Passo 3
O que é a densidade de corrente de deslocamento e qual fórmula usar?
- Conceito curto e direto: quando o campo elétrico varia no tempo, há uma variação de fluxo elétrico que age, na equação de Maxwell–Ampère, como uma “corrente” adicional. Essa contribuição é a corrente de deslocamento.
- Fórmula: a densidade de corrente de deslocamento é
onde
é a permissividade do vácuo. Aqui
tem unidades de corrente por área (A/m
). Cada símbolo significa:
= densidade de corrente de deslocamento (vetor),
= constante física,
= derivada temporal do campo elétrico vetorial.
Passo 4
Calcular explicitamente
usando
. Primeiro faço a derivada temporal:
Agora aplico a fórmula da corrente de deslocamento:
Explanação prática: a corrente de deslocamento é paralela ao campo elétrico (mesma direção
) e cresce/decai no tempo com o mesmo fator exponencial de
, multiplicada por
.
Passo 5
Agora vamos calcular
usando a Lei de Ampère–Maxwell na forma integral:
onde
é o fluxo elétrico através de uma superfície
delimitada pela curva
, e
é a corrente de condução atravessando
. Nesta região assumimos que não há corrente de condução livre atravessando a superfície (ou seja
); a única “corrente” relevante vem do termo de deslocamento.
Passo 6
Escolha do caminho e uso da simetria: para simetria cilíndrica escolhemos
como uma circunferência de raio
centrada no eixo
. Pela simetria:
-
deve ser tangencial (no sentido azimutal ) e ter módulo que depende só de : . - O integral de linha torna-se
Passo 7
Cálculo do fluxo elétrico e sua derivada temporal: a superfície
natural é o disco de raio
(plano perpendicular ao eixo
). Como
é uniforme sobre o disco e paralelo a
,
A derivada temporal é
Passo 8
Substituindo tudo na Lei de Ampère–Maxwell com
:
Resolver para
:
Portanto o campo magnético vetorial, na direção azimutal, é
Direção (sentido de
): pelo comportamento do rotacional / regra da mão direita — se
aponta para
e está aumentando (
), o
circula no sentido dado por
compatível com o sinal acima; se
o sentido será o oposto.
Passo 9
Avaliação no raio pedido
: substituir
na expressão de
:
Relembrando a densidade de corrente de deslocamento encontrada no Passo 4,