Considere uma regiāo no espaço onde um campo elétrico variável no tempo ê dado por:
\mathrm{E}(\mathrm{t})=\mathrm{D} 1 \mathrm{e}^{\wedge}[\mathrm{D} 2 \mathrm{t}] 之, onde D1 e D2 são constantes conhecidas.
a) Determine a densidade de corrente de deslocamento J_d nesta região.
b) Usando a Lei de Ampère-Maxwell, calcule o campo magnético B a uma distância \mathrm{r}=\mathrm{D} 3 do eixo z, assumindo simetria cilindrica.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informação 1: um campo elétrico variável no tempo é dado por \mathbf{E}(t)=D_{1}e^{D_{2}t} , onde D_{1} e D_{2} são constantes conhecidas.
  • Informação 2: pede-se o campo magnético a uma distância r=D_{3} do eixo z, assumindo simetria cilíndrica; D_{3} é uma constante conhecida.
As perguntas são:
(a) Determinar a densidade de corrente de deslocamento \mathbf{J}_d nesta região.
(b) Usando a Lei de Ampère–Maxwell, calcular o campo magnético \mathbf{B} a r=D_{3} do eixo z, assumindo simetria cilíndrica.

Passo 2

Observação importante (assunção necessária porque o enunciado não especificou direções espaciais): para aproveitar a simetria cilíndrica pedida e poder aplicar a forma integral da Lei de Ampère–Maxwell de modo padrão, vou assumir que o campo elétrico é espacialmente uniforme e aponta ao longo do eixo z. Em notação vetorial isso significa:
\mathbf{E}(t)=D_{1}e^{D_{2}t}\,\hat{z}.
Se o campo tivesse outra direção ou variação espacial, a solução mudaria; como o enunciado fala em simetria cilíndrica e pede \mathbf{B} em função de r, essa é a hipótese natural.

Passo 3

O que é a densidade de corrente de deslocamento e qual fórmula usar?
  • Conceito curto e direto: quando o campo elétrico varia no tempo, há uma variação de fluxo elétrico que age, na equação de Maxwell–Ampère, como uma “corrente” adicional. Essa contribuição é a corrente de deslocamento.
  • Fórmula: a densidade de corrente de deslocamento é
\mathbf{J}_d=\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Aqui \mathbf{J}_d tem unidades de corrente por área (A/m ^2). Cada símbolo significa: \mathbf{J}_d = densidade de corrente de deslocamento (vetor), \varepsilon_0 = constante física, \partial \mathbf{E}/\partial t = derivada temporal do campo elétrico vetorial.

Passo 4

Calcular explicitamente \mathbf{J}_d usando \mathbf{E}(t)=D_{1}e^{D_{2}t}\,\hat{z}. Primeiro faço a derivada temporal:
\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\frac{d}{dt}\bigl(D_{1}e^{D_{2}t}\bigr)\,\hat{z}=D_{1}D_{2}e^{D_{2}t}\,\hat{z}.
Agora aplico a fórmula da corrente de deslocamento:
\mathbf{J}_d=\varepsilon_0\,D_{1}D_{2}e^{D_{2}t}\,\hat{z}.
Explanação prática: a corrente de deslocamento é paralela ao campo elétrico (mesma direção \hat{z}) e cresce/decai no tempo com o mesmo fator exponencial de \mathbf{E}(t), multiplicada por \varepsilon_0 D_{2}.

Passo 5

Agora vamos calcular \mathbf{B} usando a Lei de Ampère–Maxwell na forma integral:
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\text{enc}}+\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\Phi_E,
onde \Phi_E=\iint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico através de uma superfície S delimitada pela curva \mathcal{C}, e I_{\text{enc}} é a corrente de condução atravessando S. Nesta região assumimos que não há corrente de condução livre atravessando a superfície (ou seja I_{\text{enc}}=0); a única “corrente” relevante vem do termo de deslocamento.

Passo 6

Escolha do caminho e uso da simetria: para simetria cilíndrica escolhemos \mathcal{C} como uma circunferência de raio r centrada no eixo z. Pela simetria:
  • \mathbf{B} deve ser tangencial (no sentido azimutal \hat{\varphi}) e ter módulo que depende só de r: \mathbf{B}=B_{\varphi}(r,t)\,\hat{\varphi}.
  • O integral de linha torna-se
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B_{\varphi}(r,t)\cdot(2\pi r).

Passo 7

Cálculo do fluxo elétrico e sua derivada temporal: a superfície S natural é o disco de raio r (plano perpendicular ao eixo z). Como \mathbf{E} é uniforme sobre o disco e paralelo a d\mathbf{A}=\hat{z}\,dA,
\Phi_E=\iint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(t)\cdot \pi r^2 = D_{1}e^{D_{2}t}\cdot \pi r^2.
A derivada temporal é
\frac{d\Phi_E}{dt}=\pi r^2\frac{dE}{dt}=\pi r^2\cdot D_{1}D_{2}e^{D_{2}t}.

Passo 8

Substituindo tudo na Lei de Ampère–Maxwell com I_{\text{enc}}=0:
B_{\varphi}(r,t)\,(2\pi r)=\mu_0\varepsilon_0\;\pi r^2\;D_{1}D_{2}e^{D_{2}t}.
Resolver para B_{\varphi}(r,t):
B_{\varphi}(r,t)=\frac{\mu_0\varepsilon_0\,\pi r^2\,D_{1}D_{2}e^{D_{2}t}}{2\pi r}=\frac{\mu_0\varepsilon_0\,r}{2}\;D_{1}D_{2}e^{D_{2}t}.
Portanto o campo magnético vetorial, na direção azimutal, é
\mathbf{B}(r,t)=\frac{\mu_0\varepsilon_0\,r}{2}\;D_{1}D_{2}e^{D_{2}t}\,\hat{\varphi}.
Direção (sentido de \hat{\varphi}): pelo comportamento do rotacional / regra da mão direita — se \mathbf{E} aponta para +\hat{z} e está aumentando ( D_{1}D_{2}>0), o \mathbf{B} circula no sentido dado por \hat{\varphi} compatível com o sinal acima; se D_{1}D_{2}<0 o sentido será o oposto.

Passo 9

Avaliação no raio pedido r=D_{3}: substituir r=D_{3} na expressão de \mathbf{B}:
\mathbf{B}(r=D_{3},t)=\frac{\mu_0\varepsilon_0\,D_{3}}{2}\;D_{1}D_{2}e^{D_{2}t}\,\hat{\varphi}.
Relembrando a densidade de corrente de deslocamento encontrada no Passo 4,
\mathbf{J}_d(t)=\varepsilon_0 D_{1}D_{2}e^{D_{2}t}\,\hat{z}.

Resposta

\mathbf{J}_d(t)=\varepsilon_0 D_{1}D_{2}e^{D_{2}t}\,\hat{z}
\mathbf{B}(r=D_{3},t)=\dfrac{\mu_0\varepsilon_0 D_{1}D_{2}D_{3}}{2}\,e^{D_{2}t}\,\hat{\varphi}

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