(a) Se a aceleração de uma pessoa, situada a 4 m do eixo de um carrossel, tem magnitude 0,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, quais são seu período e sua velocidade linear? (b) Qual a frequência (em Hertz) desse
movimento circular uniforme? (c) Se a pessoa se desloca para uma distância de 1,0 m do eixo do carrossel, qual será sua velocidade linear?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas específicas. Listei tudo para ficar claro:
  • Dados fornecidos: r = 4\\ \mathrm{m}
a = 0{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}
  • Perguntas:
    (a) Quais são o período e a velocidade linear da pessoa quando está a 4\\ \mathrm{m} do eixo?
    (b) Qual a frequência (em hertz) desse movimento?
    (c) Se a pessoa se desloca para 1{,}0\\ \mathrm{m} do eixo, qual será sua velocidade linear?

Passo 2

Quais fórmulas vamos usar e o que significam as variáveis. Vou explicar com calma.
  • A aceleração centrípeta (ou radial) é a aceleração que aponta para o centro e mantém o movimento circular. Uma relação muito útil é
    a = \frac{v^{2}}{r},
    onde:
    • a é a aceleração centrípeta (em \mathrm{m/s^{2}}),
    • v é a velocidade linear (em \mathrm{m/s}),
    • r é o raio da trajetória (em \mathrm{m}).
      Essa fórmula vem de analisar as componentes da aceleração quando a direção da velocidade muda continuamente numa circunferência.
  • Outra forma equivalente usa a velocidade angular \omega:
    a = \omega^{2} r,
    e a relação entre velocidade linear e velocidade angular é
    v = \omega r.
    Aqui \omega é em \mathrm{rad/s}.
  • As relações entre período T, frequência f e \omega são:
    v = \frac{2\pi r}{T},\qquad \omega = \frac{2\pi}{T},\qquad f=\frac{1}{T}.
    • T é o tempo para uma volta completa (segundos).
    • f é o número de voltas por segundo (hertz).
Vou usar primordialmente a = v^{2}/r para achar v e em seguida usar v=\frac{2\pi r}{T} para achar T. Para o item (c) vou usar que a plataforma gira como um corpo rígido, então a velocidade angular \omega é a mesma para qualquer raio; assim v=\omega r dá a nova velocidade linear.

Passo 3

Calcular a velocidade linear v quando r=4\\ \mathrm{m} e a=0{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Partimos de
a=\frac{v^{2}}{r}.
Isolando v,
v=\sqrt{a\,r}.
Substituindo os valores (todos em \mathrm{SI}):
v=\sqrt{0{,}80\cdot 4}.
Faço a multiplicação dentro da raiz:
0{,}80\cdot 4 = 3{,}2.
Agora a raiz:
v=\sqrt{3{,}2}\approx 1{,}78885\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos (bom para provas):
v\approx 1{,}79\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular o período T correspondente à velocidade v encontrada.
Usamos
v=\frac{2\pi r}{T}.
Isolando T,
T=\frac{2\pi r}{v}.
Substituo r=4\\ \mathrm{m} e v\approx 1{,}78885\\ \mathrm{m/s}:
T=\frac{2\pi\cdot 4}{1{,}78885}=\frac{8\pi}{1{,}78885}.
Calculo numérico:
8\pi \approx 25{,}13274,
T \approx \frac{25{,}13274}{1{,}78885}\approx 14{,}053\\ \mathrm{s}.
Arredondando para três algarismos significativos:
T\approx 14{,}1\\ \mathrm{s}.
Observação rápida e útil para prova: a volta é grande (circunferência \approx 25{,}13\\ \mathrm{m}) e a pessoa anda a \approx 1{,}79\\ \mathrm{m/s}, por isso leva cerca de 14\\ \mathrm{s} para completar uma volta.

Passo 5

Calcular a frequência f em hertz (item b).
A relação é
f=\frac{1}{T}.
Com T\approx 14{,}053\\ \mathrm{s},
f\approx \frac{1}{14{,}053}\approx 0{,}07114\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando para três algarismos significativos:
f\approx 0{,}0711\\ \mathrm{Hz}.
Também podemos confirmar usando \omega=\sqrt{\frac{a}{r}} e f=\frac{\omega}{2\pi}. Se fizermos:
\omega=\sqrt{\frac{0{,}80}{4}}=\sqrt{0{,}20}\approx 0{,}44721\\ \mathrm{rad/s},
f=\frac{\omega}{2\pi}\approx\frac{0{,}44721}{2\pi}\approx 0{,}07114\\ \mathrm{Hz},
o mesmo resultado.

Passo 6

Item (c): pessoa se desloca para r'=1{,}0\\ \mathrm{m}. Qual a nova velocidade linear v'?
Como o carrossel é um corpo rígido, a velocidade angular \omega permanece a mesma. Já calculamos
\omega=\sqrt{\frac{a}{r}}=\sqrt{\frac{0{,}80}{4}}=\sqrt{0{,}20}\approx 0{,}44721\\ \mathrm{rad/s}.
A nova velocidade linear é
v'=\omega r'.
Com r'=1{,}0\\ \mathrm{m},
v' \approx 0{,}44721\cdot 1{,}0 \approx 0{,}44721\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos:
v'\approx 0{,}447\\ \mathrm{m/s}.
Uma forma rápida mental para prova: como v=\omega r, ao reduzir o raio de 4\\ \mathrm{m} para 1\\ \mathrm{m} a velocidade linear reduz pela razão 1/4. Assim v' \approx 1{,}79/4 \approx 0{,}447\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) T\approx 14{,}1\\ \mathrm{s}, v\approx 1{,}79\\ \mathrm{m/s}
(b) f\approx 0{,}0711\\ \mathrm{Hz}
(c) v'\approx 0{,}447\\ \mathrm{m/s}

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