(a) Se a aceleração de uma pessoa, situada a
do eixo de um carrossel, tem magnitude
, quais são seu período e sua velocidade linear? (b) Qual a frequência (em Hertz) desse
movimento circular uniforme? (c) Se a pessoa se desloca para uma distância de
do eixo do carrossel, qual será sua velocidade linear?
movimento circular uniforme? (c) Se a pessoa se desloca para uma distância de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas específicas. Listei tudo para ficar claro:
- Dados fornecidos:
- Perguntas:
(a) Quais são o período e a velocidade linear da pessoa quando está ado eixo?
(b) Qual a frequência (em hertz) desse movimento?
(c) Se a pessoa se desloca parado eixo, qual será sua velocidade linear?
Passo 2
Quais fórmulas vamos usar e o que significam as variáveis. Vou explicar com calma.
-
A aceleração centrípeta (ou radial) é a aceleração que aponta para o centro e mantém o movimento circular. Uma relação muito útil éonde:
-
é a aceleração centrípeta (em ), -
é a velocidade linear (em ), -
é o raio da trajetória (em ).
Essa fórmula vem de analisar as componentes da aceleração quando a direção da velocidade muda continuamente numa circunferência.
-
-
Outra forma equivalente usa a velocidade angular
: e a relação entre velocidade linear e velocidade angular éAquié em . -
As relações entre período
, frequência e são: -
é o tempo para uma volta completa (segundos). -
é o número de voltas por segundo (hertz).
-
Vou usar primordialmente
para achar
e em seguida usar
para achar
. Para o item (c) vou usar que a plataforma gira como um corpo rígido, então a velocidade angular
é a mesma para qualquer raio; assim
dá a nova velocidade linear.
Passo 3
Calcular a velocidade linear
quando
e
.
Partimos de
Isolando
,
Substituindo os valores (todos em
):
Faço a multiplicação dentro da raiz:
Agora a raiz:
Arredondando para três algarismos significativos (bom para provas):
Passo 4
Calcular o período
correspondente à velocidade
encontrada.
Usamos
Isolando
,
Substituo
e
:
Calculo numérico:
Arredondando para três algarismos significativos:
Observação rápida e útil para prova: a volta é grande (circunferência
) e a pessoa anda a
, por isso leva cerca de
para completar uma volta.
Passo 5
Calcular a frequência
em hertz (item b).
A relação é
Com
,
Arredondando para três algarismos significativos:
Também podemos confirmar usando
e
. Se fizermos:
o mesmo resultado.
Passo 6
Item (c): pessoa se desloca para
. Qual a nova velocidade linear
?
Como o carrossel é um corpo rígido, a velocidade angular
permanece a mesma. Já calculamos
A nova velocidade linear é
Com
,
Arredondando para três algarismos significativos:
Uma forma rápida mental para prova: como
, ao reduzir o raio de
para
a velocidade linear reduz pela razão
. Assim
.
Resposta
(a)
,
(b)
(c)
(b)
(c)