1. Calcule a velocidade angular média de cada um dos três ponteiros de um relógio. 11) A água de um rio se escoa com velocidade de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} do norte para o sul. Um homem dirige um barco com motor no rio; sua velocidade em relação à água é 4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A largura do rio é de 800 m .
    (a) Em que direção o barco deve se mover em relação à água para que ele atinja amargem oposta diretamente a leste do ponto inicial? Faça um esboço que justifique sua resposta.
    (b) Quanto tempo é necessário para atravessar o rio?

Passo 1

Vou escrever claramente o que cada item pede e quais são os dados fornecidos.
Para a questão 10:
  • Pedido: Calcular a velocidade angular média de cada um dos três ponteiros de um relógio (ponteiro dos segundos, dos minutos e das horas).
  • Dados: relógio comum (ponteiro dos segundos dá uma volta completa em 60 s, ponteiro dos minutos dá uma volta completa em 60 min, ponteiro das horas dá uma volta completa em 12 h). Esses tempos estão implícitos no enunciado (relogio normal).
Para a questão 11:
  • Pedido (a): Em que direção o barco deve se mover em relação à água para que ele atinja a margem oposta diretamente a leste do ponto inicial? (Pediram também um esboço que justifique.)
  • Pedido (b): Quanto tempo é necessário para atravessar o rio?
  • Dados (do enunciado): velocidade da água (corrente) =1,5\\ \mathrm{m/s} do norte para o sul; velocidade do barco em relação à água = 4,5\\ \mathrm{m/s}; largura do rio =800\\ \mathrm{m}. Observação: o fluxo norte→sul indica que a componente da corrente é ao sul; queremos chegar a um ponto diretamente a leste (mesma coordenada norte-sul do ponto inicial).

Passo 2

Conceito e fórmula para velocidade angular (aplicável à questão 10).
  • A velocidade angular média \omega de um movimento circular é a razão entre o ângulo percorrido e o tempo gasto. Para uma volta completa o ângulo é 2\pi radianos. Assim a fórmula é:
\omega=\frac{2\pi}{T},
onde T é o período (tempo de uma volta completa). Aqui \omega tem unidade de rad/s.
  • Vou aplicar essa fórmula aos três ponteiros, lembrando os períodos:
    • ponteiro dos segundos: T_{\text{seg}}=60\\ \mathrm{s},
    • ponteiro dos minutos: T_{\text{min}}=60\\ \mathrm{min}=3600\\ \mathrm{s},
    • ponteiro das horas: T_{\text{hor}}=12\\ \mathrm{h}=12\cdot 3600=43200\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Cálculo da velocidade angular do ponteiro dos segundos.
  • Usando \omega=\dfrac{2\pi}{T} com T_{\text{seg}}=60\\ \mathrm{s}:
\omega_{\text{seg}}=\frac{2\pi}{60}=\frac{\pi}{30}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Valor numérico aproximado:
\omega_{\text{seg}}\approx 0,10472\\ \mathrm{rad/s}.
  • (Observação didática rápida: em graus por segundo, como 2\pi\\ \mathrm{rad}=360^\circ, temos 360^\circ/60=6^\circ/\mathrm{s}.)

Passo 4

Cálculo da velocidade angular do ponteiro dos minutos.
  • Período T_{\text{min}}=3600\\ \mathrm{s}. Aplicando a fórmula:
\omega_{\text{min}}=\frac{2\pi}{3600}=\frac{\pi}{1800}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Valor numérico aproximado:
\omega_{\text{min}}\approx 0,0017453\\ \mathrm{rad/s}.
  • (Em graus por segundo: 360^\circ/3600=0,1^\circ/\mathrm{s}.)

Passo 5

Cálculo da velocidade angular do ponteiro das horas.
  • Período T_{\text{hor}}=43200\\ \mathrm{s}. Aplicando a fórmula:
\omega_{\text{hor}}=\frac{2\pi}{43200}=\frac{\pi}{21600}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Valor numérico aproximado:
\omega_{\text{hor}}\approx 0,00014544\\ \mathrm{rad/s}.
  • (Em graus por segundo: 360^\circ/43200\approx 0,008333^\circ/\mathrm{s}.)

Passo 6

Preparando o raciocínio vetorial para a questão 11 (conceitos e escolha de eixos).
  • Vou usar um sistema de eixos cartesianas: eixo x apontando para leste (positivo para leste) e eixo y apontando para norte (positivo para norte). Assim:
    • “do norte para o sul” corresponde a um vetor na direção negativa do eixo y.
  • Denoto:
    • velocidade da corrente (água) como \vec{v}_\text{corr}=(0,\,-1{,}5)\\ \mathrm{m/s} (componentes (v_x,v_y)).
    • velocidade do barco em relação à água tem magnitude v_b=4{,}5\\ \mathrm{m/s} e direção a determinar; suponho que ele navegue formando um ângulo \theta ao norte do leste (ou seja, a partir da direção leste gira-se \theta para o norte). Essa escolha facilita a condição pedida (chegar diretamente a leste).
  • Componentes da velocidade do barco em relação à água:
\vec{v}_{b/w}=(v_b\cos\theta,\;v_b\sin\theta)=(4{,}5\cos\theta,\;4{,}5\sin\theta).
  • A velocidade resultante do barco em relação ao solo (terra) é soma vetorial:
\vec{v}_{\text{res}}=\vec{v}_{b/w}+\vec{v}_\text{corr}=(4{,}5\cos\theta,\;4{,}5\sin\theta-1{,}5).

Passo 7

Condição para chegar diretamente a leste do ponto inicial (resolução da parte (a)).
  • Chegar diretamente a leste significa que a componente norte-sul da velocidade resultante deve ser zero (não queremos desvio para norte nem para sul). Portanto impomos:
4{,}5\sin\theta-1{,}5=0.
  • Resolvo para \sin\theta:
\sin\theta=\frac{1{,}5}{4{,}5}=\frac{1}{3}.
  • Assim o ângulo pedido é
\theta=\arcsin\!\left(\frac{1}{3}\right).
  • Valor numérico aproximado:
\theta\approx 19{,}4712206^\circ\approx 19{,}47^\circ.
  • Interpretação prática: o barco deve apontar cerca de 19{,}47^\circ ao norte do leste (ou “Leste 19{,}47^\circ Norte”). Isso faz com que a componente norte do motor compense exatamente a corrente sul de 1{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Esboço (como desenhar para justificar): desenhe um eixo horizontal à direita (leste) e vertical para cima (norte). Desenhe uma seta pequena para baixo representando \vec{v}_\text{corr} com magnitude 1{,}5. Desenhe a seta da velocidade do barco em relação à água inclinada um pouco para cima a partir do eixo leste com ângulo \theta (magnitude 4{,}5). A soma vetorial dessas duas setas resulta numa seta puramente horizontal para leste (já que as componentes verticais se cancelam). Esse diagrama ilustra geometricamente a condição que impusemos.

Passo 8

Cálculo do tempo de travessia (parte (b)).
  • A largura do rio é 800\\ \mathrm{m}. Pelo nosso sistema de eixos, essa largura corresponde à distância a percorrer no sentido leste (eixo x) para ir de uma margem à outra e atingir o ponto diretamente a leste.
  • A componente leste da velocidade resultante é simplesmente a componente leste do barco em relação à água, pois a corrente não tem componente leste:
v_{x,\text{res}}=4{,}5\cos\theta.
  • Já sabemos \sin\theta=\dfrac{1}{3}. Para encontrar \cos\theta usamos a identidade trigonométrica \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta} (escolhemos o sinal positivo porque \theta é um ângulo pequeno, no primeiro quadrante):
\cos\theta=\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
  • Então a componente leste da velocidade é
v_{x,\text{res}}=4{,}5\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=3\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.
  • O tempo necessário para percorrer 800\\ \mathrm{m} a essa velocidade é
t=\frac{\text{distância}}{\text{velocidade}}=\frac{800}{3\sqrt{2}}\\ \mathrm{s}.â
  • Valor numérico aproximado:
t\approx \frac{800}{3\cdot 1{,}41421356}\approx 188{,}68\\ \mathrm{s}\approx 3{,}1447\\ \text{min}.

Resposta

  1. Ponteiro dos segundos: \omega_{\text{seg}}=\dfrac{\pi}{30}\\ \mathrm{rad/s}\approx 0,10472\\ \mathrm{rad/s}.
  2. Ponteiro dos minutos: \omega_{\text{min}}=\dfrac{\pi}{1800}\\ \mathrm{rad/s}\approx 0,0017453\\ \mathrm{rad/s}.
  3. Ponteiro das horas: \omega_{\text{hor}}=\dfrac{\pi}{21600}\\ \mathrm{rad/s}\approx 0,00014544\\ \mathrm{rad/s}.
    11(a) Direção requerida: \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx 19{,}47^\circ ao norte do leste.
    11(b) Tempo para atravessar: t=\dfrac{800}{3\sqrt{2}}\\ \mathrm{s}\approx 188{,}68\\ \mathrm{s}\\ (\approx 3{,}145\\ \text{min}).

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