(2,5 pontos) Calcule
\iiint_{E} x d V
onde E é limitado pelos planos z=0, z=5 e pelos cilindros x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} x\, dV
onde E é o sólido limitado pelos planos \,z=0\,,\\ z=5\, e pelos cilindros \,x^{2}+y^{2}=1\, e \,x^{2}+y^{2}=9\,. Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável z varia entre \,z=0 e \,z=5.
  • Na projeção sobre o plano xy, a região é a coroa circular entre os círculos de raio 1 e raio 3 (pois \sqrt{9}=3).
  • A função a integrar é simplesmente x (ou seja, o integrando é a coordenada x do ponto).
  • A região E é um cilindro circular com “paredes” definidos pelas duas cilindros concêntricos e altura 5.

Passo 2

Por que usar coordenadas cilíndricas? Aqui a região no plano xy é uma coroa circular (= anel), que fica muito simples em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas temos as transformações:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo a partir do eixo x. Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\, dr\, d\theta\, dz.
Explicando essa última fórmula: numa pequena fatia, a área no plano xy que corresponde a \,dr e \,d\theta tem tamanho aproximado r\,dr\,d\theta (comprimento radial dr vezes comprimento arc r\,d\theta); ao multiplicar pela espessura dz obtemos o volume elementar.

Passo 3

Determinar os limites nas coordenadas cilíndricas:
  • Como a coroa tem raios 1 e 3, temos
1 \le r \le 3.
  • O ângulo percorre toda a volta do círculo, logo
0 \le \theta \le 2\pi.
  • O z vai de 0 até 5, portanto
0 \le z \le 5.

Passo 4

Substituir o integrando e o elemento de volume: como x = r\cos\theta e dV = r\,dr\,d\theta\,dz, o integrando x\,dV vira
x\,dV = (r\cos\theta)\cdot (r\,dr\,d\theta\,dz) = r^{2}\cos\theta \, dr\, d\theta\, dz.
Então a integral sete-se como a integral iterada
\iiint_{E} x\, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{3}\int_{0}^{5} r^{2}\cos\theta \, dz\, dr\, d\theta.

Passo 5

Integrar em z primeiro (é simples porque o integrando não depende de z). Temos
\int_{0}^{5} r^{2}\cos\theta \, dz = r^{2}\cos\theta \int_{0}^{5} dz = r^{2}\cos\theta \cdot 5 = 5r^{2}\cos\theta.
Portanto a integral reduz para
\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{3} 5r^{2}\cos\theta \, dr\, d\theta.

Passo 6

Separar as integrais (o integrando é produto de função de r por função de \theta):
\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{3} 5r^{2}\cos\theta \, dr\, d\theta = 5\left(\int_{1}^{3} r^{2}\, dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi} \cos\theta \, d\theta\right).
Calcule a integral em r:
\int_{1}^{3} r^{2}\, dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{3} = \frac{3^{3}-1^{3}}{3} = \frac{27-1}{3} = \frac{26}{3}.

Passo 7

Calcule a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = \left[\sin\theta\right]_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(0)=0-0=0.
Multiplicando tudo,
5\cdot \frac{26}{3}\cdot 0 = 0.

Passo 8

Intuição geométrica/simetria (atenua o resultado): a função x é ímpar em relação à reflexão x\mapsto -x. A região E é simétrica em torno do plano y\!z (isto é, para cada ponto (x,y,z)\in E existe (-x,y,z)\in E). Integrar uma função ímpar sobre uma região simétrica desse tipo dá zero. Esse argumento confirma o resultado encontrado pelo cálculo direto.

Resposta

0

Exercícios relacionados