(2,5 pontos) Calcule
onde
é limitado pelos planos
e pelos cilindros
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o sólido limitado pelos planos
e pelos cilindros
e
. Informações relevantes que o enunciado dá:
- A variável
varia entre e . - Na projeção sobre o plano
, a região é a coroa circular entre os círculos de raio e raio (pois ). - A função a integrar é simplesmente
(ou seja, o integrando é a coordenada do ponto). - A região
é um cilindro circular com “paredes” definidos pelas duas cilindros concêntricos e altura .
Passo 2
Por que usar coordenadas cilíndricas? Aqui a região no plano
é uma coroa circular (= anel), que fica muito simples em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas temos as transformações:
onde
é a distância ao eixo
e
é o ângulo a partir do eixo
. Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Explicando essa última fórmula: numa pequena fatia, a área no plano
que corresponde a
e
tem tamanho aproximado
(comprimento radial
vezes comprimento arc
); ao multiplicar pela espessura
obtemos o volume elementar.
Passo 3
Determinar os limites nas coordenadas cilíndricas:
- Como a coroa tem raios
e , temos
- O ângulo percorre toda a volta do círculo, logo
- O
vai de até , portanto
Passo 4
Substituir o integrando e o elemento de volume: como
e
, o integrando
vira
Então a integral sete-se como a integral iterada
Passo 5
Integrar em
primeiro (é simples porque o integrando não depende de
). Temos
Portanto a integral reduz para
Passo 6
Separar as integrais (o integrando é produto de função de
por função de
):
Calcule a integral em
:
Passo 7
Calcule a integral em
:
Multiplicando tudo,
Passo 8
Intuição geométrica/simetria (atenua o resultado): a função
é ímpar em relação à reflexão
. A região
é simétrica em torno do plano
(isto é, para cada ponto
existe
). Integrar uma função ímpar sobre uma região simétrica desse tipo dá zero. Esse argumento confirma o resultado encontrado pelo cálculo direto.