Um corpo move-se ao longo do eixo
de acordo com a Equação
, onde
é dado em metros e
em segundos. Determine
(a) a velocidade escalar média entre
,
(b) a velocidade escalar instantânea em
e
,
© a aceleração média entre
e
(d) a aceleração instantânea em
.
(e) em qual instante o corpo está em repouso?
(a) a velocidade escalar média entre
(b) a velocidade escalar instantânea em
© a aceleração média entre
(d) a aceleração instantânea em
(e) em qual instante o corpo está em repouso?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para analisar o movimento de um corpo ao longo do eixo $ x $ com a equação $ x = 3,0, t^{2} - 2,0, t + 3,0 $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Para isso, vamos precisar entender conceitos de física como velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea, além de saber como derivar funções matematicamente.
Passo 2
Parte (a): Velocidade escalar média entre $ t = 2,0, s $ e $ t = 3,0, s $
A velocidade média ($ v_{m} $) é calculada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. A fórmula é:
Vamos calcular $ x(2,0) $ e $ x(3,0) $:
Agora, aplicando na fórmula da velocidade média:
Passo 3
Parte (b): Velocidade escalar instantânea em $ t = 2,0, s $ e $ t = 3,0, s $
A velocidade instantânea ($ v $) é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar $ x(t) $:
Derivando em relação a $ t $:
Agora, calculamos para $ t = 2,0, s $:
E para $ t = 3,0, s $:
Passo 4
Parte ©: Aceleração média entre $ t = 2,0, s $ e $ t = 3,0, s $
A aceleração média ($ a_{m} $) é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
Usando as velocidades que calculamos:
Passo 5
Parte (d): Aceleração instantânea em $ t = 2,0, s $ e $ t = 3,0, s $
A aceleração instantânea ($ a $) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
Observamos que a aceleração é constante e igual a $ 6,0, m/s^{2} $ para qualquer instante de $ t $.
Passo 6
Parte (e): Instante em que o corpo está em repouso
O corpo está em repouso quando a velocidade instantânea $ v(t) = 0 $.
Usando a expressão da velocidade:
Resolvendo para $ t $:
Resposta
(a) Velocidade média: $ 13,0, m/s $
(b) Velocidade instantânea:
© Aceleração média: $ 6,0, m/s^{2} $
(d) Aceleração instantânea: $ 6,0, m/s^{2} $ em ambos os instantes
(e) O corpo está em repouso em $ t \approx 0,333, s $