Um corpo move-se ao longo do eixo x de acordo com a Equação x=3,0 t^2-2,0 t+3,0, onde x é dado em metros e t em segundos. Determine
(a) a velocidade escalar média entre t=2,0 s e t=3,0 s,
(b) a velocidade escalar instantânea em t=2,0 s e t=3,0 s,
© a aceleração média entre t=2,0 s e t=3,0 s e
(d) a aceleração instantânea em t=2,0 s e t=3,0 s.
(e) em qual instante o corpo está em repouso?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para analisar o movimento de um corpo ao longo do eixo $ x $ com a equação $ x = 3,0, t^{2} - 2,0, t + 3,0 $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Para isso, vamos precisar entender conceitos de física como velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea, além de saber como derivar funções matematicamente.

Passo 2

Parte (a): Velocidade escalar média entre $ t = 2,0, s $ e $ t = 3,0, s $
A velocidade média ($ v_{m} $) é calculada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. A fórmula é:
t = 2,0, s
Vamos calcular $ x(2,0) $ e $ x(3,0) $:
t = 3,0, s
vm
Agora, aplicando na fórmula da velocidade média:
vm = De

Passo 3

Parte (b): Velocidade escalar instantânea em $ t = 2,0, s $ e $ t = 3,0, s $
A velocidade instantânea ($ v $) é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar $ x(t) $:
t = 2,0, s
Derivando em relação a $ t $:
t = 3,0, s
Agora, calculamos para $ t = 2,0, s $:
v
E para $ t = 3,0, s $:
x(t)

Passo 4

Parte ©: Aceleração média entre $ t = 2,0, s $ e $ t = 3,0, s $
A aceleração média ($ a_{m} $) é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
t = 2,0, s
Usando as velocidades que calculamos:
t = 3,0, s

Passo 5

Parte (d): Aceleração instantânea em $ t = 2,0, s $ e $ t = 3,0, s $
A aceleração instantânea ($ a $) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
t = 2,0, s
Observamos que a aceleração é constante e igual a $ 6,0, m/s^{2} $ para qualquer instante de $ t $.

Passo 6

Parte (e): Instante em que o corpo está em repouso
O corpo está em repouso quando a velocidade instantânea $ v(t) = 0 $.
Usando a expressão da velocidade:
v(t) = 0
Resolvendo para $ t $:
v(t) = 6,0, t - 2,0 = 0

Resposta

(a) Velocidade média: $ 13,0, m/s $
(b) Velocidade instantânea:
13,0, m/s
© Aceleração média: $ 6,0, m/s^{2} $
(d) Aceleração instantânea: $ 6,0, m/s^{2} $ em ambos os instantes
(e) O corpo está em repouso em $ t \approx 0,333, s $

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