Em um acelerador cíclotron uma partícula 1 carregada com carga q, massa m0 e energia cinética K, submetida a um campo magnético B=-B z, percorre uma trajetória curvilínea de raio r1 em um plano x y. No mesmo acelerador, uma partícula 2 carregada com carga 2 q, massa 2 m0 e energia cinética 4 K, submetida ao mesmo campo magnético, percorre outra trajetória curvilínea de raio r2. Considerando efeitos relativísticos, estime a razão r2 / r1 em termos das energia cinética K, massa m0 e velocidade da luz c.
Dado: No referencial do acelerador, a expressão equivalente à resultante centrípeta no contexto da mecânica relativística é p^2 /(gamma m0 r), onde p é o momento relativístico, gamma é o fator de Lorentz e r é o raio da trajetória circular.

Passo 1

A ideia é usar que num ciclotron relativístico o raio da partícula vem de equilibrar a força magnética com a força centrípeta e resulta em r=pqB, onde p é o momento relativístico.

Passo 2

Para as duas partículas temos cargas e momentos diferentes. Assim:
r1=p1qB, r2=p22qB
Logo a razão fica
r2r1=p2/(2qB)p1/(qB)=p22p1

Passo 3

Agora precisamos do momento relativístico de cada partícula. Em geral
$$p=\frac{1}{c}\sqrt{E^{2}-(m c{2}){2}},\qquad E=K+m c^{2}.
p=1craizE^2-(m c^2)^2, E=K+m c^2 íE_{1}=K+m_{0}c^{2},\qquad p_{1}=\frac{1}{c}\sqrt{(K+m_{0}c{2}){2}-(m_{0}c{2}){2}}=\frac{\sqrt{K,(K+2m_{0}c^{2})}}{c}.
$$

Passo 4

Para a partícula 2:
$$E_{2}=4K+2m_{0}c^{2},\qquad p_{2}=\frac{1}{c}\sqrt{(4K+2m_{0}c{2}){2}-(2m_{0}c{2}){2}}=\frac{4\sqrt{K,(K+m_{0}c^{2})}}{c}.
$$

Passo 5

Substituindo em r2/r1=p2/(2p1):
r2r1=12cdot4raizK,(K+m0c^2)/craizK,(K+2m0c^2)/c=2raizK+m0c^2K+2m0c^2

Resposta

r2r1=2raizK+m0c^2K+2m0c^2

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