Em um acelerador cíclotron uma partícula 1 carregada com carga
, massa
energia cinética
, submetida a um campo magnético
, percorre uma trajetória curvilínea de raio
em um plano
. No mesmo acelerador, uma partícula 2 carregada com carga
, massa
e energia cinética
, submetida ao mesmo campo magnético, percorre outra trajetória curvilínea de raio
. Considerando efeitos relativísticos, estime a razão
em termos das energia cinética
, massa
e velocidade da luz
.
Dado: No referencial do acelerador, a expressão equivalente à resultante centrípeta no contexto da mecânica relativística é
, onde
é o momento relativístico,
é o fator de Lorentz e
é o raio da trajetória circular.
Dado: No referencial do acelerador, a expressão equivalente à resultante centrípeta no contexto da mecânica relativística é
Passo 1
A ideia é usar que num ciclotron relativístico o raio da partícula vem de equilibrar a força magnética com a força centrípeta e resulta em
, onde
é o momento relativístico.
Passo 2
Para as duas partículas temos cargas e momentos diferentes. Assim:
Logo a razão fica
Passo 3
Agora precisamos do momento relativístico de cada partícula. Em geral
$$p=\frac{1}{c}\sqrt{E^{2}-(m c{2}){2}},\qquad E=K+m c^{2}.
$$
Passo 4
Para a partícula 2:
$$E_{2}=4K+2m_{0}c^{2},\qquad p_{2}=\frac{1}{c}\sqrt{(4K+2m_{0}c{2}){2}-(2m_{0}c{2}){2}}=\frac{4\sqrt{K,(K+m_{0}c^{2})}}{c}.
$$
Passo 5
Substituindo em
: