Verifique que a equação x=tg(x) tem uma infinidade de raízes reais.

Passo 1

A questão pede para verificar que a equação x = tan(x) possui infinitas raízes reais. O conteúdo envolvido é análise de funções: vamos definir a função f(x)=tan(x)-x, usar o Teorema do Valor Intermediário e a monotonicidade de tan(x) em cada ramo.

Passo 2

Definimos f(x)=tan(x)-x. Sabemos que tan(x) tem assíntotas verticais em x=(2k+1)pi/2 para todo kinZ, e que em cada intervalo aberto ( (2k-1)pi/2, (2k+1)pi/2 ) a função tan(x) é contínua e estritamente crescente. Portanto, f(x) também é contínua e estritamente crescente em cada um desses intervalos.

Passo 3

Em um dado ramo ( (2k-1)pi/2, (2k+1)pi/2 ) analisamos os limites nas bordas. Primeiro,
limxto (2k-1)pi/2^+f(x)=limxto (2k-1)pi/2^+(tan(x)-x)=-infty,
e depois,
limxto (2k+1)pi/2^-f(x)=limxto (2k+1)pi/2^-(tan(x)-x)=+infty

Passo 4

Como f é contínua nesse intervalo e assume valores de sinais opostos nas bordas, o Teorema do Valor Intermediário garante pelo menos uma raiz em cada ramo.

Passo 5

Como existem infinitos inteiros k, há infinitos intervalos ( (2k-1)pi/2, (2k+1)pi/2 ). Em cada um deles surge pelo menos uma raiz, logo a equação x=tan(x) tem infinitamente muitas soluções reais.

Resposta

A equação x=tan(x) possui uma raiz em cada ramo de tan(x), ou seja, em cada intervalo ( (2k-1)pi/2, (2k+1)pi/2 ) para kinZ, garantindo assim infinitas raízes reais.

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