Verifique que a equação
tem uma infinidade de raízes reais.
Passo 1
A questão pede para verificar que a equação
possui infinitas raízes reais. O conteúdo envolvido é análise de funções: vamos definir a função
, usar o Teorema do Valor Intermediário e a monotonicidade de
em cada ramo.
Passo 2
Definimos
. Sabemos que
tem assíntotas verticais em
para todo
, e que em cada intervalo aberto
a função
é contínua e estritamente crescente. Portanto,
também é contínua e estritamente crescente em cada um desses intervalos.
Passo 3
Em um dado ramo
analisamos os limites nas bordas. Primeiro,
e depois,
Passo 4
Como
é contínua nesse intervalo e assume valores de sinais opostos nas bordas, o Teorema do Valor Intermediário garante pelo menos uma raiz em cada ramo.
Passo 5
Como existem infinitos inteiros
, há infinitos intervalos
. Em cada um deles surge pelo menos uma raiz, logo a equação
tem infinitamente muitas soluções reais.
Resposta
A equação
possui uma raiz em cada ramo de
, ou seja, em cada intervalo
para
, garantindo assim infinitas raízes reais.