Considere a curva dada pelas equações paramétricas lx=2(cos t)^2 y=sen(2 t) com t in[0, pi2]. Determine as coordenadas do ponto em que a reta tangente à curva é horizontal.

Passo 1

O enunciado diz que temos a curva paramétrica com
conteúdo de matéria: derivada implícita e tangente de curvas paramétricas. Precisamos encontrar t tal que a reta tangente seja horizontal, ou seja, dy/dx = 0.

Passo 2

Calcular as derivadas em relação a t. Primeiro:
dxdt = 2 cdot 2cos t cdot(-sin t) = -4sin tcos t = -2sin(2t)
Em seguida:
dydt = ddt[sin(2t)] = 2cos(2t)

Passo 3

A tangente é horizontal quando dy/dx = 0 e dx/dt neq 0. Como
dydx = dy/dtdx/dt = 2cos(2t)-2sin(2t) = -cot(2t),
basta impor dy/dt = 0, ou seja, 2cos(2t)=0, o que implica cos(2t)=0.

Passo 4

Resolver cos(2t)=0 no intervalo [0,pi/2]. Temos
2t = pi2 + kpi implies t = pi4 + kpi2
Dentre essas soluções, apenas t=pi/4 cai em [0,pi/2].

Passo 5

Calcular as coordenadas no parâmetro t=pi/4:
x = 2cos^2l(pi4r) = 2l(raiz22r)^2 = 1,
y = sinl(2cdotpi4r) = sinl(pi2r) = 1
Verificamos que dx/dtl|t=pi/4 = -2sin(pi/2) = -2 neq 0, então a tangente é de fato horizontal.

Passo 6

Portanto, o ponto onde a reta tangente é horizontal é o par ((1,1)).

Resposta

(1, 1)

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