Considere a curva dada pelas equações paramétricas
com
. Determine as coordenadas do ponto em que a reta tangente à curva é horizontal.
Passo 1
O enunciado diz que temos a curva paramétrica com
conteúdo de matéria: derivada implícita e tangente de curvas paramétricas. Precisamos encontrar t tal que a reta tangente seja horizontal, ou seja, dy/dx = 0.
conteúdo de matéria: derivada implícita e tangente de curvas paramétricas. Precisamos encontrar t tal que a reta tangente seja horizontal, ou seja, dy/dx = 0.
Passo 2
Calcular as derivadas em relação a t. Primeiro:
Em seguida:
Passo 3
A tangente é horizontal quando
e
. Como
basta impor
, ou seja,
, o que implica
.
Passo 4
Resolver
no intervalo
. Temos
Dentre essas soluções, apenas
cai em
.
Passo 5
Calcular as coordenadas no parâmetro
:
Verificamos que
, então a tangente é de fato horizontal.
Passo 6
Portanto, o ponto onde a reta tangente é horizontal é o par ((1,1)).
Resposta
(1, 1)