Use a diferenciação implicita para mostrar que a função definida implicitamente por
apresenta um ponto crítico. Determine o ponto da curva no qual a reta tangente é vertical.
Passo 1
Temos a curva implícita dada por
. O conteúdo é diferenciação implícita, e vamos precisar derivar ambos os lados em relação a
para obter
, depois usar essa expressão para identificar onde
(ponto crítico) e onde
é indefinido (tangente vertical).
Passo 2
Derivando implicitamente
:
Isolando
obtemos:
Passo 3
Para encontrar o ponto crítico (tangente horizontal), igualamos o numerador a zero:
Substituindo na equação da curva:
Logo o ponto crítico é
.
Passo 4
Para reta tangente vertical, buscamos onde
é indefinido, isto é, denominador zero:
No mesmo instante, o ponto deve satisfazer a curva:
Portanto as tangentes verticais ocorrem nos pontos
e
.
Resposta
Ponto crítico (tangente horizontal):
.\nTangentes verticais nos pontos
e
.