Use a diferenciação implicita para mostrar que a função definida implicitamente por x^2+y^3=x apresenta um ponto crítico. Determine o ponto da curva no qual a reta tangente é vertical.

Passo 1

Temos a curva implícita dada por x^2+y^3=x. O conteúdo é diferenciação implícita, e vamos precisar derivar ambos os lados em relação a x para obter dy/dx, depois usar essa expressão para identificar onde dy/dx=0 (ponto crítico) e onde dy/dx é indefinido (tangente vertical).

Passo 2

Derivando implicitamente x^2+y^3=x:
2x + 3y^2dydx = 1
Isolando dy/dx obtemos:
dydx = 1 - 2x3y^2

Passo 3

Para encontrar o ponto crítico (tangente horizontal), igualamos o numerador a zero:
1 - 2x = 0 implies x = tfrac12
Substituindo na equação da curva:
l(tfrac12r)^2 + y^3 = tfrac12
tfrac14 + y^3 = tfrac12 implies y^3 = tfrac14 implies y = l(tfrac14r)^1/3
Logo o ponto crítico é (tfrac12,,(1/4)^1/3).

Passo 4

Para reta tangente vertical, buscamos onde dy/dx é indefinido, isto é, denominador zero:
3y^2 = 0 implies y = 0
No mesmo instante, o ponto deve satisfazer a curva:
x^2 + 0^3 = x implies x^2 = x implies x(x-1)=0 implies x=0 ou x=1
Portanto as tangentes verticais ocorrem nos pontos (0,0) e (1,0).

Resposta

Ponto crítico (tangente horizontal): l(tfrac12,,(1/4)^1/3r).\nTangentes verticais nos pontos (0,0) e (1,0).

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