Num acelerador de partículas, elétrons com velocidade
percorrem um trecho de um tubo de
de comprimento. Para os elétrons, qual é o comprimento desse trecho de tubo? [R.
]
Passo 1
O enunciado dá um trecho de tubo com comprimento de
medido no referencial do laboratório (ou seja, o tubo está em repouso no laboratório) e elétrons que se movem com velocidade
relativos ao laboratório. A pergunta é: para os elétrons (no referencial dos elétrons), qual é o comprimento desse trecho de tubo?
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Conceito físico necessário (explicado passo a passo): comprimento próprio e contração de Lorentz.
- Comprimento próprio
é o comprimento de um objeto medido no referencial em que o objeto está em repouso. Aqui, o tubo está em repouso no laboratório, logo o comprimento próprio do tubo é . - Quando um observador vê esse objeto em movimento com velocidade
, o comprimento medido por esse observador é menor: ocorre a contração de Lorentz. A fórmula da contração é
onde
é o comprimento medido no referencial onde o objeto se move,
é o comprimento próprio e
é o fator de Lorentz.
- O fator de Lorentz
é dado por
Aqui
é a velocidade relativa entre os referenciais e
é a velocidade da luz. Explicando: quando
se aproxima de
, o denominador fica muito pequeno e
fica grande, então
fica muito menor que
.
Passo 3
Colocar os dados nas unidades adequadas:
Definimos também
. Pelo enunciado,
Passo 4
Calcular
e
de forma clara:
Portanto
Passo 5
Calcular
usando a definição:
Calculemos a raiz:
logo
(Observação numérica: por aproximação rápida,
e
.)
Passo 6
Aplicar a contração de Lorentz para obter o comprimento medido pelos elétrons:
Arredondando de maneira razoável (duas casas decimais):
Passo 7
Interpretação e checagem rápida: os elétrons, vendo o tubo em movimento relativo muito rápido, medem um comprimento muito menor (cerca de
) do que o comprimento próprio do tubo (
). Isso é coerente com a física relativística: para velocidades muito próximas de
,
é grande e a contração é forte.