Num acelerador de partículas, elétrons com velocidade v=0,999975 c percorrem um trecho de um tubo de 3,2 \mathrm{~km} de comprimento. Para os elétrons, qual é o comprimento desse trecho de tubo? [R. \approx 22,63 \times 10^{3} \mathrm{~m} ]

Passo 1

O enunciado dá um trecho de tubo com comprimento de 3,2\\ \mathrm{km} medido no referencial do laboratório (ou seja, o tubo está em repouso no laboratório) e elétrons que se movem com velocidade v=0,999975\,c relativos ao laboratório. A pergunta é: para os elétrons (no referencial dos elétrons), qual é o comprimento desse trecho de tubo?
Informações relevantes dadas:
v = 0,999975\,c
\text{comprimento do tubo no laboratório} = 3,2\\ \mathrm{km}ó

Passo 2

Conceito físico necessário (explicado passo a passo): comprimento próprio e contração de Lorentz.
  • Comprimento próprio L_0 é o comprimento de um objeto medido no referencial em que o objeto está em repouso. Aqui, o tubo está em repouso no laboratório, logo o comprimento próprio do tubo é L_0=3,2\\ \mathrm{km}.
  • Quando um observador vê esse objeto em movimento com velocidade v, o comprimento medido por esse observador é menor: ocorre a contração de Lorentz. A fórmula da contração é
L = \frac{L_0}{\gamma},
onde L é o comprimento medido no referencial onde o objeto se move, L_0 é o comprimento próprio e \gamma é o fator de Lorentz.
  • O fator de Lorentz \gamma é dado por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Aqui v é a velocidade relativa entre os referenciais e c é a velocidade da luz. Explicando: quando v se aproxima de c, o denominador fica muito pequeno e \gamma fica grande, então L fica muito menor que L_0.

Passo 3

Colocar os dados nas unidades adequadas:
L_0 = 3,2\\ \mathrm{km} = 3,2\times 10^{3}\\ \mathrm{m}.
Definimos também \beta=\dfrac{v}{c}. Pelo enunciado,
\beta = 0,999975.

Passo 4

Calcular \beta^{2} e 1-\beta^{2} de forma clara:
\beta^{2} = (0,999975)^{2} = 0,999950000625.
Portanto
1-\beta^{2} = 1 - 0,999950000625 = 0,000049999375 = 4,9999375\times 10^{-5}.

Passo 5

Calcular \gamma usando a definição:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{4,9999375\times 10^{-5}}}.
Calculemos a raiz:
\sqrt{4,9999375\times 10^{-5}}\approx 0,007071068,
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\gamma \approx \frac{1}{0,007071068}\approx 141,421356.
(Observação numérica: por aproximação rápida, \sqrt{5\times10^{-5}}=0,007071068 e 1/0,007071068\approx 141,421356.)

Passo 6

Aplicar a contração de Lorentz para obter o comprimento medido pelos elétrons:
L=\frac{L_0}{\gamma}=\frac{3,2\times 10^{3}\\ \mathrm{m}}{141,421356}\approx 22,627417\\ \mathrm{m}.
Arredondando de maneira razoável (duas casas decimais):
L\approx 22,63\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: os elétrons, vendo o tubo em movimento relativo muito rápido, medem um comprimento muito menor (cerca de 22,6\\ \mathrm{m}) do que o comprimento próprio do tubo ( 3200\\ \mathrm{m}). Isso é coerente com a física relativística: para velocidades muito próximas de c, \gamma é grande e a contração é forte.

Resposta

22,63\\ \mathrm{m}

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