O princípio da correspondência estabelece que teorias novas sobre a descrição da natureza devem conter teorias clássicas já confirmadas. Utilizando essa ideia, verifique sua confirmação para velocidades do nosso dia a dia, que é muito menor que a velocidade da luz ( v \ll c ), no caso da
Quantidade de movimento relativística.

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique, usando o princípio da correspondência, se a fórmula da quantidade de movimento relativística reduz-se à fórmula clássica para velocidades do nosso dia a dia, isto é, no caso v \ll c.\n
Informações relevantes que temos do enunciado e que vamos usar:
  • A condição de interesse é v \ll c, onde v é a velocidade do objeto e c é a velocidade da luz.\n
  • A quantidade de movimento relativística (fórmula conhecida da teoria da relatividade) é dada por uma expressão que envolve o fator de Lorentz \gamma. (Vou usar essa expressão porque o enunciado pede verificação desse caso.)

Passo 2

Escrevemos a expressão da quantidade de movimento relativística e explicamos cada símbolo, com calma: p = \gamma\, m\, v
onde:
  • p é a quantidade de movimento relativística,
  • m é a massa (a massa de repouso, que usamos aqui),
  • v é a velocidade do objeto,
  • \gamma é o fator de Lorentz definido por \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicação intuitiva: \gamma é um fator que cresce quando v se aproxima de c; para v pequeno em relação a c, esperamos que \gamma esteja muito próximo de 1. O princípio da correspondência exige que, nesse limite v\ll c, a expressão relativística p=\gamma m v recupere a expressão clássica p_{\text{cl}} = m v.

Passo 3

Para formalizar “muito próximo de 1” usamos uma expansão em série (binomial/Taylor) adequada para quantidades pequenas. Definimos a pequena quantidade x \equiv \frac{v^{2}}{c^{2}}.
Como v\ll c, temos |x|\ll 1. A expansão binomial geral diz que, para |x|\ll 1 e qualquer expoente \alpha,
(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^{2} + \cdots.
Aplicamos com \alpha=-\tfrac{1}{2} e com 1-x (ou seja, substituindo x\to -x no formato acima). Assim obtemos a expansão de \gamma: \gamma = (1-x)^{-1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^{2} + \cdots.
Comentário didático: a primeira correção é \tfrac{1}{2}x. Se x for muito pequeno, esses termos adicionais são desprezíveis.

Passo 4

Agora substituímos x=\dfrac{v^{2}}{c^{2}} na expansão e colocamos em p=\gamma m v. Isso dá: p = m v \,\gamma \approx m v\left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}} + \frac{3}{8}\frac{v^{4}}{c^{4}} + \cdots\right).
Observação prática: o termo dominante (o de maior importância quando v\ll c) é m v. Os termos seguintes são pequenas correções relativísticas.

Passo 5

Interpretando o resultado: para v\ll c temos \dfrac{v^{2}}{c^{2}}\ll 1, logo \gamma \approx 1 e p \approx m v.
Portanto a quantidade de movimento relativística tende para a expressão clássica p_{\text{cl}}=m v no limite de baixas velocidades, confirmando o princípio da correspondência.\n
Exemplo numérico rápido para ver que é realmente desprezível no dia a dia: tome v=10\\ \text{m/s} e c\approx 3\times 10^{8}\\ \text{m/s}. Então \frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{100}{(3\times10^{8})^{2}}\approx 1{,}1\times 10^{-15},
e a primeira correção \tfrac{1}{2}\dfrac{v^{2}}{c^{2}} é da ordem de 5{,}5\times 10^{-16} — completamente insignificante. Mesmo para velocidades de carros ou aviões essas correções são minúsculas.

Passo 6

Conclusão clara e prática: a expressão relativística para a quantidade de movimento contém a clássica como termo principal quando v\ll c. Em provas, para demonstrar isso você pode: (i) escrever p=\gamma m v, (ii) expandir \gamma em série para v^{2}/c^{2}\ll 1 usando a expansão binomial, e (iii) notar que o primeiro termo da expansão dá p\approx m v.

Resposta

p=\gamma m v \approx m v quando v\ll c (mais precisamente p\approx m v\bigl(1+\tfrac{1}{2}\tfrac{v^{2}}{c^{2}}+\dots\bigr), então o termo líder é m v).

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