O princípio da correspondência estabelece que teorias novas sobre a descrição da natureza devem conter teorias clássicas já confirmadas. Utilizando essa ideia, verifique sua confirmação para velocidades do nosso dia a dia, que é muito menor que a velocidade da luz (
), no caso da
Quantidade de movimento relativística.
Quantidade de movimento relativística.
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique, usando o princípio da correspondência, se a fórmula da quantidade de movimento relativística reduz-se à fórmula clássica para velocidades do nosso dia a dia, isto é, no caso
.\n
Informações relevantes que temos do enunciado e que vamos usar:
Informações relevantes que temos do enunciado e que vamos usar:
- A condição de interesse é
, onde é a velocidade do objeto e é a velocidade da luz.\n - A quantidade de movimento relativística (fórmula conhecida da teoria da relatividade) é dada por uma expressão que envolve o fator de Lorentz
. (Vou usar essa expressão porque o enunciado pede verificação desse caso.)
Passo 2
Escrevemos a expressão da quantidade de movimento relativística e explicamos cada símbolo, com calma:
onde:
-
é a quantidade de movimento relativística, -
é a massa (a massa de repouso, que usamos aqui), -
é a velocidade do objeto, -
é o fator de Lorentz definido por
Explicação intuitiva:
é um fator que cresce quando
se aproxima de
; para
pequeno em relação a
, esperamos que
esteja muito próximo de
. O princípio da correspondência exige que, nesse limite
, a expressão relativística
recupere a expressão clássica
.
Passo 3
Para formalizar “muito próximo de 1” usamos uma expansão em série (binomial/Taylor) adequada para quantidades pequenas. Definimos a pequena quantidade
Como
, temos
. A expansão binomial geral diz que, para
e qualquer expoente
,
Aplicamos com
e com
(ou seja, substituindo
no formato acima). Assim obtemos a expansão de
:
Comentário didático: a primeira correção é
. Se
for muito pequeno, esses termos adicionais são desprezíveis.
Passo 4
Agora substituímos
na expansão e colocamos em
. Isso dá:
Observação prática: o termo dominante (o de maior importância quando
) é
. Os termos seguintes são pequenas correções relativísticas.
Passo 5
Interpretando o resultado: para
temos
, logo
e
Portanto a quantidade de movimento relativística tende para a expressão clássica
no limite de baixas velocidades, confirmando o princípio da correspondência.\n
Exemplo numérico rápido para ver que é realmente desprezível no dia a dia: tome
e
. Então
e a primeira correção
é da ordem de
— completamente insignificante. Mesmo para velocidades de carros ou aviões essas correções são minúsculas.
Passo 6
Conclusão clara e prática: a expressão relativística para a quantidade de movimento contém a clássica como termo principal quando
. Em provas, para demonstrar isso você pode: (i) escrever
, (ii) expandir
em série para
usando a expansão binomial, e (iii) notar que o primeiro termo da expansão dá
.