Qual a velocidade em termos de
entre o sistema em movimento e o sistema relativístico para que o comprimento medido em um sistema em repouso seja a metade do comprimento medido em um sistema em movimento?
Passo 1
O enunciado pede a velocidade (em termos de
) entre dois referenciais de modo que o comprimento medido em um referencial em movimento seja a metade do comprimento medido no referencial em repouso.\n
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- Existe um comprimento próprio (comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso), que chamaremos de
. - Existe o comprimento medido por um observador para quem o objeto está em movimento, que chamaremos de
. - A condição do enunciado é que
seja a metade de , ou seja . - Pede-se a velocidade relativa
entre os referenciais, expressa em função de (velocidade da luz), que satisfaz essa condição.
Passo 2
Apresentando a fórmula necessária (explicando o que cada coisa significa):\n
A relação de contração de comprimentos (fórmula de contração relativística) é
A relação de contração de comprimentos (fórmula de contração relativística) é
Aqui:
-
é o comprimento próprio (medido no referencial onde o objeto está em repouso). -
é o comprimento medido por um observador que vê o objeto mover-se com velocidade relativa . -
é a velocidade da luz.
Essa fórmula diz, em palavras simples: quando você mede o comprimento de um objeto que está se movendo em relação a você, esse comprimento aparece reduzido (contraído) em relação ao comprimento medido no referencial onde o objeto está parado. O fator multiplicadoré sempre menor ou igual a 1, e decresce quando se aproxima de .
Passo 3
Aplicando a condição do enunciado
na fórmula de contração:
Passo 4
Simplificando a equação para isolar
: primeiro dividimos ambos os lados por
(que não é zero):
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando o quadrado:
Isolando
:
Passo 5
Tirando raiz dos dois lados para obter
:
Passo 6
Interpretação numérica e nota útil para a prova: o valor pode ser escrito aproximadamente como
Uma observação prática: o fator de Lorentz
é
. Aqui, como
, temos
. Isso é uma verificação rápida — se o comprimento medido por quem vê o objeto em movimento é metade do comprimento próprio, então
.