Qual a velocidade em termos de c entre o sistema em movimento e o sistema relativístico para que o comprimento medido em um sistema em repouso seja a metade do comprimento medido em um sistema em movimento?

Passo 1

O enunciado pede a velocidade (em termos de c) entre dois referenciais de modo que o comprimento medido em um referencial em movimento seja a metade do comprimento medido no referencial em repouso.\n
Informações dadas e o que se pede:
  • Existe um comprimento próprio (comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso), que chamaremos de L_0.
  • Existe o comprimento medido por um observador para quem o objeto está em movimento, que chamaremos de L.
  • A condição do enunciado é que L seja a metade de L_0, ou seja L = \tfrac{1}{2}L_0.
  • Pede-se a velocidade relativa v entre os referenciais, expressa em função de c (velocidade da luz), que satisfaz essa condição.

Passo 2

Apresentando a fórmula necessária (explicando o que cada coisa significa):\n
A relação de contração de comprimentos (fórmula de contração relativística) é
L = L_0\,\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}.
Aqui:
  • L_0 é o comprimento próprio (medido no referencial onde o objeto está em repouso).
  • L é o comprimento medido por um observador que vê o objeto mover-se com velocidade relativa v.
  • c é a velocidade da luz.
    Essa fórmula diz, em palavras simples: quando você mede o comprimento de um objeto que está se movendo em relação a você, esse comprimento aparece reduzido (contraído) em relação ao comprimento medido no referencial onde o objeto está parado. O fator multiplicador \sqrt{1 - v^2/c^2} é sempre menor ou igual a 1, e decresce quando v se aproxima de c.

Passo 3

Aplicando a condição do enunciado L = \tfrac{1}{2}L_0 na fórmula de contração:
\tfrac{1}{2}L_0 = L_0\,\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}.

Passo 4

Simplificando a equação para isolar v: primeiro dividimos ambos os lados por L_0 (que não é zero):
\tfrac{1}{2} = \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}.
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{v^2}{c^2}.
Calculando o quadrado:
\tfrac{1}{4} = 1 - \dfrac{v^2}{c^2}.
Isolando \dfrac{v^2}{c^2}:
\dfrac{v^2}{c^2} = 1 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.

Passo 5

Tirando raiz dos dois lados para obter v:
v = c\,\sqrt{\tfrac{3}{4}} = c\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Interpretação numérica e nota útil para a prova: o valor pode ser escrito aproximadamente como
v \approx 0,866\,c.
Uma observação prática: o fator de Lorentz \gamma é \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}. Aqui, como \sqrt{1 - v^2/c^2} = \tfrac{1}{2}, temos \gamma = 2. Isso é uma verificação rápida — se o comprimento medido por quem vê o objeto em movimento é metade do comprimento próprio, então \gamma = 2.

Resposta

v = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,c \approx 0,866\,c

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