Em um acelerador síncroton o elétron é acelerado primeiramente por um acelerador linear LINAC antes de entrar no Booster a fim de atingir velocidades próximas à velocidade da luz. Os primeiros modelos usavam no LINAC uma diferença de potencial de 50 kV para acelerar elétrons. Sabendo que a massa do elétron é 9,1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}, calcule a velocidade do elétron no final do acelerador.

Passo 1

O enunciado diz que um elétron é acelerado por uma diferença de potencial de 50 kV no LINAC, ganhando energia elétrica que se converte em energia cinética. Para calcular a velocidade final, vamos usar a relação entre energia potencial elétrica e cinética no regime não relativístico:
  • carga do elétron e - diferença de potencial V - massa do elétron m - energia cinética \tfrac12mv^2

Passo 2

A energia elétrica ganha pelo elétron é
\Delta E = e\,V
e essa energia vai para a energia cinética:
\Delta E = \frac12\,m\,v^2.

Passo 3

Substituindo e = 1,602\times10^{-19}\,\mathrm C, V = 5\times10^4\,\mathrm V e m=9,1\times10^{-31}\,\mathrm{kg}:
\Delta E = (1,602\times10^{-19})\,(5\times10^4) =8,01\times10^{-15}\,\mathrm J
v = \sqrt{\frac{2\,\Delta E}{m}} =\sqrt{\frac{2\times8,01\times10^{-15}}{9,1\times10^{-31}}} =1,33\times10^8\,\mathrm{m/s}.

Passo 4

Comparando com a velocidade da luz c\approx3,00\times10^8\,\mathrm{m/s}, temos
\frac{v}{c}\approx\frac{1,33\times10^8}{3,00\times10^8}\approx0,44,
ou seja, cerca de 44\% de c.

Resposta

A velocidade do elétron ao final do LINAC é aproximadamente 1,33\times10^8\,\mathrm{m/s} ( \approx 0,44 c).

Exercícios relacionados