Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(y+1) d x-x d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial
(y+1)\,dx \;-\; x\,dy \;=\;0
que podemos escrever como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 \quad\text{com}\quad M(x,y)=y+1,\;N(x,y)=-x.
O que vamos precisar: verificar que não é exata, encontrar um fator integrante (que depende só de x), e então resolver a equação exata resultante.

Passo 2

Verificamos a exatidão checando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y+1)=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(-x)=-1.
Como 1\neq -1, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante \mu(x) dependendo só de x. A condição é
\frac{1}{N}\Bigl(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\Bigr) \;=\; \frac{1-(-1)}{-x} \;=\; -\frac{2}{x},
que depende apenas de x. Assim
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-2\ln|x|) =|x|^{-2} \sim x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-2}:
\frac{y+1}{x^2}\,dx \;-\;\frac{x}{x^2}\,dy \;=\; \frac{y+1}{x^2}\,dx \;-\;\frac{1}{x}\,dy \;=\;0.
Chamando
M^*(x,y)=\frac{y+1}{x^2}, \quad N^*(x,y)=-\frac{1}{x},
vemos que
\frac{\partial M^*}{\partial y} =\frac{1}{x^2}, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x} =\frac{1}{x^2},
logo a nova equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} =\frac{y+1}{x^2}, \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y} =-\frac{1}{x}.
Integramos a primeira em x:
\psi(x,y) =\int \frac{y+1}{x^2}\,dx =-(y+1)\,\frac{1}{x}+h(y).
Diferenciando em y e comparando com N^*:
\frac{\partial \psi}{\partial y} =-\frac{1}{x}+h'(y) \overset{!}{=}-\frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0 \;\Rightarrow\; h(y)=\text{const}.

Passo 6

A solução implícita vem de
\psi(x,y)=-(y+1)\frac{1}{x}=\text{const},
ou seja
-\frac{y+1}{x}=C \quad\Longleftrightarrow\quad y+1=C'x \quad\text{(com \(C'=-C\))}.

Resposta

A solução geral é
y+1 = C\,x,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados