Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial
que podemos escrever como
O que vamos precisar: verificar que não é exata, encontrar um fator integrante (que depende só de
), e então resolver a equação exata resultante.
Passo 2
Verificamos a exatidão checando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
dependendo só de
. A condição é
que depende apenas de
. Assim
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Chamando
vemos que
logo a nova equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos a primeira em
:
Diferenciando em
e comparando com
:
Passo 6
A solução implícita vem de
ou seja
Resposta
A solução geral é
onde
é constante arbitrária.