(Serway, vol. 4, cap. 28, problema 39, pg. 1139) A função de onda, no instante t=0, para um elétron confinado a mover-se numa caixa unidimensional de comprimento a (ou seja, 0 \leq x \leq a ) é dada por \Psi(x, 0)=A \sin \left(\frac{2 \pi x}{a}\right).
(a) Normalize a função de onda. [Resp.: A=\sqrt{\frac{2}{a}} ].
(b) Calcule a probabilidade de encontrar o elétron, nesse instante, entre x=0 e x=\frac{a}{4}. \mid Resp.: P\left(0 \leq x \leq \frac{a}{4}\right)= 0,25].

Passo 1

O enunciado dá a função de onda no instante t=0 para um elétron confinado numa “caixa” unidimensional de comprimento a:
\Psi(x,0)=A\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr), \quad 0\le x\le a.
Precisamos (1) determinar a constante de normalização A usando \displaystyle\int_0^a|\Psi(x,0)|^2\,dx=1
e (2) calcular a probabilidade \displaystyle P\bigl(0\le x\le\tfrac a4\bigr) =\int_0^{a/4}|\Psi(x,0)|^2\,dx.

Passo 2

Normalização.
1=\int_0^a|\Psi(x,0)|^2\,dx =A^2\int_0^a\sin^2\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr)\,dx.
Use a identidade trigonométrica
\sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}2,
com \theta=\tfrac{2\pi x}{a}, de modo que 2\theta=\tfrac{4\pi x}{a}. Então
\int_0^a\sin^2\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr)\,dx =\int_0^a\frac{1-\cos(4\pi x/a)}2\,dx =\frac12\Bigl[x-\frac{a}{4\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi x}{a}\bigr)\Bigr]_0^a =\frac a2.
Logo
1=A^2\cdot\frac a2 \quad\Longrightarrow\quad A=\sqrt{\frac{2}{a}}.

Passo 3

Probabilidade entre x=0 e x=\tfrac a4:
P\bigl(0\le x\le\tfrac a4\bigr) =\int_0^{a/4}|\Psi(x,0)|^2\,dx =A^2\int_0^{a/4}\sin^2\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr)\,dx =\frac{2}{a}\int_0^{a/4}\sin^2\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr)\,dx.
Usando de novo \sin^2\theta=(1-\cos2\theta)/2,
P =\frac{2}{a}\cdot\frac12\Bigl[x-\frac{a}{4\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi x}{a}\bigr)\Bigr]_0^{a/4} =\frac{1}{a}\Bigl[\frac a4-0\Bigr] =\frac14.

Resposta

A=\sqrt{\tfrac{2}{a}} P\bigl(0\le x\le\tfrac a4\bigr)=0,25

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