Acerca do campo vetorial \mathbf{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}) \mathbf{i}+(\mathrm{x}-2) \mathbf{j} responda: ( 25 pontos)
a) O campo é conservativo ?
b) Indique alguma função escalar \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) real tal que \mathbf{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\nabla f, caso exista.
c) Calcule \int_{c} \boldsymbol{F} . d \boldsymbol{r} partindo do ponto \mathrm{A}(1,2) até o ponto \mathrm{B}(3,0).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = (P,Q) = (x+y,\,x-2)
e pede:
a) verificar se \mathbf{F} é conservativo;
b) em caso afirmativo, achar uma função escalar f(x,y) tal que \mathbf{F}=\nabla f;
c) calcular \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} do ponto A(1,2) até B(3,0).
Vamos usar o critério de campos conservativos em regiões simplesmente conexas:
\frac{\partial P}{\partial y} \stackrel{?}{=} \frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos as derivadas mistas:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x+y) =1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x-2) =1.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Para encontrar f(x,y) tal que \nabla f=(P,Q), integramos P em relação a x:
f(x,y) =\int (x+y)\,dx =\frac{x^2}{2}+xy + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Depois exigimos
\frac{\partial f}{\partial y} =x + h'(y) \stackrel{!}{=} Q = x-2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -2 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -2y + C.
Logo uma potencial é
f(x,y) =\frac{x^2}{2}+xy-2y + C.

Passo 4

Como o campo é conservativo,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =f\bigl(B\bigr)-f\bigl(A\bigr).
Calculamos
f(3,0) =\frac{3^2}{2}+3\cdot0-2\cdot0 + C =\frac{9}{2}+C,
f(1,2) =\frac{1^2}{2}+1\cdot2-2\cdot2 + C =\frac{1}{2}+2-4 + C =-\frac{3}{2}+C.
Então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\Bigl(\tfrac{9}{2}+C\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{3}{2}+C\Bigr) = \tfrac{9}{2} + \tfrac{3}{2} =6.

Resposta

a) Sim, o campo é conservativo.
b) Uma função potencial é
f(x,y)=\frac{x^2}{2}+xy-2y + C.
c)
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=6.

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