Calcule
, onde C é a metade superior do circulo
. ( 25 pontos):
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de função escalar
,
onde é a semicircunferência superior do círculo
.
O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar: parametrizamos a curva, calculamos e substituímos na integral.
onde
O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar: parametrizamos a curva, calculamos
Passo 2
Parametrizamos
pela variável
, tomando o centro em
e raio
. Para
temos
Passo 3
Calculamos o elemento de comprimento
Passo 4
Substituindo na integral, obtemos
Passo 5
Separamos em duas integrais:
A primeira é imediata:
Passo 6
Para a segunda, usamos
,
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Calculando,
Passo 7
Somando as duas parcelas: