Calcule \int_{c}\left(2+x^{2} y\right) d s, onde C é a metade superior do circulo (x-1)^{2}+y^{2}=1. ( 25 pontos):

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de função escalar \displaystyle \int_{C}\bigl(2 + x^{2}y\bigr)\,ds,
onde C é a semicircunferência superior do círculo (x-1)^{2}+y^{2}=1.
O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar: parametrizamos a curva, calculamos ds e substituímos na integral.

Passo 2

Parametrizamos C pela variável \theta, tomando o centro em (1,0) e raio 1. Para \theta\in[0,\pi] temos
x(\theta)=1+\cos\theta, \quad y(\theta)=\sin\theta.

Passo 3

Calculamos o elemento de comprimento
ds=\sqrt{\bigl(x'(\theta)\bigr)^{2}+\bigl(y'(\theta)\bigr)^{2}}\;d\theta =\sqrt{(-\sin\theta)^{2}+(\cos\theta)^{2}}\;d\theta =d\theta.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\int_{C}\bigl(2 + x^{2}y\bigr)\,ds =\int_{0}^{\pi}\Bigl[2 + \bigl(1+\cos\theta\bigr)^{2}\,\sin\theta\Bigr]\,d\theta.

Passo 5

Separamos em duas integrais:
\int_{0}^{\pi}2\,d\theta + \int_{0}^{\pi}\bigl(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta\bigr)\sin\theta\,d\theta.
A primeira é imediata:
\int_{0}^{\pi}2\,d\theta=2\pi.

Passo 6

Para a segunda, usamos u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta=0, u=1; quando \theta=\pi, u=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta)\sin\theta\,d\theta =\int_{u=1}^{u=-1}(1+2u+u^{2})(-du) =\int_{-1}^{1}(1+2u+u^{2})\,du.
Calculando,
\int_{-1}^{1}(1+2u+u^{2})\,du =\bigl[u+u^{2}+\tfrac{u^{3}}{3}\bigr]_{-1}^{1} =\Bigl(1+1+\tfrac{1}{3}\Bigr)-\Bigl(-1+1-\tfrac{1}{3}\Bigr) =\tfrac{8}{3}.

Passo 7

Somando as duas parcelas:
2\pi + \frac{8}{3}.

Resposta

2\pi + \frac{8}{3}.

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