Resolva \int_{0}^{1 / \ln 2} \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d y d x. ( 25 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1/\ln 2}\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dy\,dx.
O conteúdo envolve integração iterada e análise de convergência de integral imprópria.

Passo 2

Como o integrando \frac{1}{x} não depende de y, a integral interna é
\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dy = \frac{2-1}{x} = \frac{1}{x}.

Passo 3

Substituindo na integral externa, fica
\int_{0}^{1/\ln 2}\frac{1}{x}\,dx,
que é imprópria no limite inferior x=0.

Passo 4

Escrevemos como limite:
\int_{0}^{1/\ln 2}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1/\ln 2}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl[\ln(x)\bigr]_{\varepsilon}^{1/\ln 2} = \lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl(\ln\bigl(\tfrac{1}{\ln 2}\bigr)-\ln(\varepsilon)\bigr).

Passo 5

Como \ln(\varepsilon)\to -\infty quando \varepsilon\to0^+, o valor da integral tende a +\infty. Portanto a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente (tende a +\infty).

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