Acerca das características geométricas das figuras planas, explique:
b) Centro de Gravidade;
b) Centro de Gravidade;
Passo 1
O enunciado pede para a gente explicar o que é o centro de gravidade de uma figura plana. O tema aqui é o cálculo de centroides de áreas (ou “centróide”), partindo do princípio de que a densidade é uniforme. Para resolver, vamos precisar entender o conceito físico de resultante de peso e ver como traduzir isso em integrais sobre a área ou em somas ponderadas para formas compostas.
Passo 2
O centro de gravidade (ou centróide) de uma área plana é o ponto onde podemos imaginar que toda a massa (ou peso) da figura está concentrada, sob densidade constante. Fisicamente, é o ponto de aplicação da força peso resultante. Geometricamente, coincide com o ponto de equilíbrio da lâmina plana se ela fosse apoiada ali. Em termos técnicos, as coordenadas desse ponto são obtidas igualando os momentos estáticos da área em torno dos eixos coordenados.
Passo 3
Para uma figura de área
descrita no plano
, as coordenadas
e
do centro de gravidade vêm das integrais de primeiro momento:
Aqui
é o momento estático da área em relação ao eixo
, e similarmente para
.
Passo 4
Quando a figura é composta por várias subáreas
com centróides em
, usamos soma ponderada:
Em muitos casos práticos aproveitamos eixos de simetria: por exemplo, se a área é simétrica em relação ao eixo
, então
.
Resposta
O centro de gravidade de uma figura plana num sistema cartesiano
tem coordenadas
que, para composições de áreas simples, podem ser obtidas pelas fórmulas