Acerca das características geométricas das figuras planas, explique:
b) Centro de Gravidade;

Passo 1

O enunciado pede para a gente explicar o que é o centro de gravidade de uma figura plana. O tema aqui é o cálculo de centroides de áreas (ou “centróide”), partindo do princípio de que a densidade é uniforme. Para resolver, vamos precisar entender o conceito físico de resultante de peso e ver como traduzir isso em integrais sobre a área ou em somas ponderadas para formas compostas.

Passo 2

O centro de gravidade (ou centróide) de uma área plana é o ponto onde podemos imaginar que toda a massa (ou peso) da figura está concentrada, sob densidade constante. Fisicamente, é o ponto de aplicação da força peso resultante. Geometricamente, coincide com o ponto de equilíbrio da lâmina plana se ela fosse apoiada ali. Em termos técnicos, as coordenadas desse ponto são obtidas igualando os momentos estáticos da área em torno dos eixos coordenados.

Passo 3

Para uma figura de área A descrita no plano (x,y), as coordenadas \bar x e \bar y do centro de gravidade vêm das integrais de primeiro momento:
\bar x \;=\;\frac{1}{A}\iint_{A} x\,\mathrm{d}A,
\bar y \;=\;\frac{1}{A}\iint_{A} y\,\mathrm{d}A.
Aqui \iint_{A} x\,\mathrm{d}A é o momento estático da área em relação ao eixo y, e similarmente para \iint_{A} y\,\mathrm{d}A.

Passo 4

Quando a figura é composta por várias subáreas A_i com centróides em (\bar x_i,\bar y_i), usamos soma ponderada:
\bar x \;=\;\frac{\sum_i A_i\,\bar x_i}{\sum_i A_i},
\bar y \;=\;\frac{\sum_i A_i\,\bar y_i}{\sum_i A_i}.
Em muitos casos práticos aproveitamos eixos de simetria: por exemplo, se a área é simétrica em relação ao eixo y, então \bar x=0.

Resposta

O centro de gravidade de uma figura plana num sistema cartesiano (x,y) tem coordenadas
\bar x=\frac{1}{A}\iint_{A}x\,\mathrm{d}A,\quad \bar y=\frac{1}{A}\iint_{A}y\,\mathrm{d}A,
que, para composições de áreas simples, podem ser obtidas pelas fórmulas
\bar x=\frac{\sum A_i\,\bar x_i}{\sum A_i},\quad \bar y=\frac{\sum A_i\,\bar y_i}{\sum A_i}.

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