Determınar a resposta total de um sistema de 1 GDL sub amortecıdo operatorname{com} m= 10 kg e k=4000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, sujeito ao deslocamento inicial x_{0}=0,01 \mathrm{~m} e velocidade inicial \dot{x}_{0}=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sob as seguintes condições:
c=200 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m} e F(t)=0 \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de um grau de liberdade subamortecido sem forçamento externo, com massa m=10\\ \mathrm{kg}, rigidez k=4000\\ \mathrm{N/m}, amortecimento c=200\\ \mathrm{Ns/m}, deslocamento inicial x(0)=0,01\\ \mathrm{m} e velocidade inicial \dot x(0)=0. Vamos resolver a equação homogênea de movimento para obter x(t).

Passo 2

A equação diferencial do sistema é
m\,\ddot x + c\,\dot x + k\,x = 0.

Passo 3

Calculamos a frequência natural não amortecida \omega_n e o fator de amortecimento \zeta:
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{4000}{10}} = 20\\ \mathrm{rad/s},
\zeta = \frac{c}{2\,m\,\omega_n} = \frac{200}{2\cdot10\cdot20} = 0{,}5.

Passo 4

Como \zeta=0{,}5<1, o sistema é subamortecido e a pulsação amortecida é
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = 20\sqrt{1-0{,}25} = 20\cdot\sqrt{0{,}75} \approx 17{,}3205\\ \mathrm{rad/s}.
A solução geral homogênea é
x(t) = e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(X\cos(\omega_d t) + Y\sin(\omega_d t)\bigr).

Passo 5

Aplicando as condições iniciais:
em t=0 temos x(0)=X=0{,}01.
A derivada é
\dot x(t) = e^{-\zeta\omega_n t}\bigl[-\zeta\omega_n X\cos(\omega_d t)-X\omega_d\sin(\omega_d t) +\zeta\omega_n Y\sin(\omega_d t)+Y\omega_d\cos(\omega_d t)\bigr].
Em t=0,
\dot x(0) = -\zeta\omega_n X + \omega_d Y = 0 \quad\Longrightarrow\quad Y = \frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}\,X = \frac{0{,}5\cdot20}{17{,}3205}\cdot0{,}01 \approx 0{,}0057735.

Passo 6

Substituindo X e Y na solução, obtemos a resposta total:
x(t) = e^{-10\,t}\bigl(0{,}01\cos(17{,}3205\,t) + 0{,}0057735\sin(17{,}3205\,t)\bigr).

Passo 7

Opcionalmente, em forma fasorial:
A = \sqrt{0{,}01^2 + 0{,}0057735^2}\approx0{,}011547, \quad \varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{0{,}0057735}{0{,}01}\bigr)=30^\circ,
logo
x(t) = 0{,}011547\,e^{-10\,t}\cos\bigl(17{,}3205\,t - 30^\circ\bigr).

Resposta

x(t) = e^{-10\,t}\bigl(0{,}01\cos(17{,}3205\,t) + 0{,}0057735\sin(17{,}3205\,t)\bigr).

Exercícios relacionados