Acerca das características geométricas das figuras planas, explique:
d) Momento Polar de Inércia;
d) Momento Polar de Inércia;
Passo 1
O enunciado pede para explicar o conceito de momento polar de inércia de uma área plana. Esse conteúdo faz parte do estudo das características geométricas de perfis usados em engenharia, especialmente na análise da resistência à torção e na distribuição de área em torno de um ponto. Vamos precisar do entendimento dos momentos de inércia em relação a eixos cartesianos e da definição de coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, recordamos que os momentos de inércia segundo as direções
e
de uma área
são dados por
e
Essas grandezas medem quanto a área está distribuída longe desses eixos, e são usadas para calcular tensões de flexão.
Passo 3
Para definir o momento polar de inércia em torno de um ponto
, introduzimos a distância radial de cada ponto da área ao ponto
: seja
a distância de um elemento de área
até
. Então o momento polar de inércia é
Em coordenadas cartesianas, como
, isso equivale a
Passo 4
Da expressão anterior segue diretamente a relação entre o momento polar e os momentos de inércia cartesianos:
Ou seja, o momento polar em
é a soma dos momentos de inércia em torno dos eixos ortogonais que se cruzam em
.
Passo 5
Do ponto de vista físico,
caracteriza a resistência à torção de elementos estruturais cujo eixo de torção passa por
. Quanto maior
, maior será a rigidez torsional. As unidades de
são
(por ex.,
ou
). Para uma seção circular de raio
, por exemplo,
Resposta
O momento polar de inércia de uma área
em relação a um ponto
é dado por
onde
é a distância de cada elemento de área ao ponto
, e
,
são os momentos de inércia em torno de eixos perpendiculares que se cruzam em
. Essa grandeza mede a distribuição da área em torno de
e é fundamental para avaliar a rigidez à torção de perfis.