Acerca das características geométricas das figuras planas, explique:
d) Momento Polar de Inércia;

Passo 1

O enunciado pede para explicar o conceito de momento polar de inércia de uma área plana. Esse conteúdo faz parte do estudo das características geométricas de perfis usados em engenharia, especialmente na análise da resistência à torção e na distribuição de área em torno de um ponto. Vamos precisar do entendimento dos momentos de inércia em relação a eixos cartesianos e da definição de coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, recordamos que os momentos de inércia segundo as direções x e y de uma área A são dados por
I_x \;=\;\int_A y^2\,\mathrm{d}A
e
I_y \;=\;\int_A x^2\,\mathrm{d}A.
Essas grandezas medem quanto a área está distribuída longe desses eixos, e são usadas para calcular tensões de flexão.

Passo 3

Para definir o momento polar de inércia em torno de um ponto O, introduzimos a distância radial de cada ponto da área ao ponto O: seja r a distância de um elemento de área \mathrm{d}A até O. Então o momento polar de inércia é
J_O \;=\;\int_A r^2\,\mathrm{d}A.
Em coordenadas cartesianas, como r^2 = x^2 + y^2, isso equivale a
J_O \;=\;\int_A (x^2 + y^2)\,\mathrm{d}A.

Passo 4

Da expressão anterior segue diretamente a relação entre o momento polar e os momentos de inércia cartesianos:
J_O \;=\;\int_A x^2\,\mathrm{d}A \;+\;\int_A y^2\,\mathrm{d}A \;\;=\;\;I_y \;+\; I_x.
Ou seja, o momento polar em O é a soma dos momentos de inércia em torno dos eixos ortogonais que se cruzam em O.

Passo 5

Do ponto de vista físico, J_O caracteriza a resistência à torção de elementos estruturais cujo eixo de torção passa por O. Quanto maior J_O, maior será a rigidez torsional. As unidades de J_O são \mathrm{length}^4 (por ex., \mathrm{mm}^4 ou \mathrm{cm}^4). Para uma seção circular de raio R, por exemplo,
J_O \;=\;\int_0^{2\pi}\!\int_0^R r^2\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta \;=\;\frac{\pi\,R^4}{2}.

Resposta

O momento polar de inércia de uma área A em relação a um ponto O é dado por
J_O \;=\;\int_A r^2\,\mathrm{d}A \;=\;I_x + I_y,
onde r é a distância de cada elemento de área ao ponto O, e I_x, I_y são os momentos de inércia em torno de eixos perpendiculares que se cruzam em O. Essa grandeza mede a distribuição da área em torno de O e é fundamental para avaliar a rigidez à torção de perfis.

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