Acerca da integral iterada integral0^1 integralx^2^1 cos (y^1 / 2) d y d x, responda:
Reescreva a integral como sendo do tipo II. (5pontos)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla do tipo I, que integra primeiro em de a 1 e depois em de 0 a 1. O conteúdo da matéria aqui é sobre mudança da ordem de integração em integrais duplas, e vamos precisar entender como descrever a mesma região de integração, mas invertendo a ordem das integrais.

Passo 2

Vamos começar desenhando a região de integração no plano . A integral original tem variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 1. Isso significa que estamos integrando sobre a região acima da parábola e abaixo da linha , para entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, para reescrever a integral como do tipo II, precisamos expressar em função de . Observamos que a parábola pode ser reescrita como . Assim, para cada entre 0 e 1, varia de 0 a .

Passo 4

Com isso, podemos montar a integral dupla do tipo II, onde primeiro integramos em de 0 a e depois em de 0 a 1. A função integranda permanece a mesma, .

Resposta

A integral reescrita como sendo do tipo II é:
integral0^1 integral0^raizy cos(raizy) dx, dy

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