Acerca da integral iterada
, responda:
Reescreva a integral como sendo do tipo II. (5pontos)
Reescreva a integral como sendo do tipo II. (5pontos)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla do tipo I, que integra primeiro em
de
a 1 e depois em
de 0 a 1. O conteúdo da matéria aqui é sobre mudança da ordem de integração em integrais duplas, e vamos precisar entender como descrever a mesma região de integração, mas invertendo a ordem das integrais.
Passo 2
Vamos começar desenhando a região de integração no plano
. A integral original tem
variando de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a 1. Isso significa que estamos integrando sobre a região acima da parábola
e abaixo da linha
, para
entre 0 e 1.
Passo 3
Agora, para reescrever a integral como do tipo II, precisamos expressar
em função de
. Observamos que a parábola
pode ser reescrita como
. Assim, para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 a
.
Passo 4
Com isso, podemos montar a integral dupla do tipo II, onde primeiro integramos em
de 0 a
e depois em
de 0 a 1. A função integranda permanece a mesma,
.
Resposta
A integral reescrita como sendo do tipo II é: