Calcule a derivada direcional das funções no ponto P dado na direção de u :
g(x, y)=raiz13 e^x y+x, P=(0,0) e u=(-2raiz13, 3raiz13).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada direcional da função $ g(x, y) = \sqrt{13} , e^{xy + x} $ no ponto $ P = (0, 0) $, na direção do vetor $ \vec{u} = \left(-\frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}\right) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produtos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular, precisamos das derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois combinar isso com as componentes do vetor $ \vec{u} $.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas parciais de $ g(x, y) $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
g(x, y)
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas parciais no ponto $ P = (0, 0) $.
Para $ g_x(0, 0) $:
P = (0, 0)
Para $ g_y(0, 0) $:
gx(0, 0)

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Du g = gx cdot ux + gy cdot uy
Onde $ u_x $ e $ u_y $ são as componentes do vetor $ \vec{u} $.
Substituindo os valores:
ux

Passo 6

Simplificando a expressão:
Du g = raiz13 cdot (-2raiz13) = -2

Resposta

A derivada direcional de $ g $ no ponto $ P = (0, 0) $ na direção de $ \vec{u} $ é -2.

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