Calcule a derivada direcional das funções no ponto
dado na direção de
:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada direcional da função $ g(x, y) = \sqrt{13} , e^{xy + x} $ no ponto $ P = (0, 0) $, na direção do vetor $ \vec{u} = \left(-\frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}\right) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produtos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular, precisamos das derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois combinar isso com as componentes do vetor $ \vec{u} $.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas parciais de $ g(x, y) $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas parciais no ponto $ P = (0, 0) $.
Para $ g_x(0, 0) $:
Para $ g_y(0, 0) $:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Onde $ u_x $ e $ u_y $ são as componentes do vetor $ \vec{u} $.
Substituindo os valores:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada direcional de $ g $ no ponto $ P = (0, 0) $ na direção de $ \vec{u} $ é -2.