Determine
e
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar $ z_x $ e $ z_y $ na equação $ x^{3} + y^{3} + z^{3} + 6xyz = 1 $. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais usando diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar lembrar como diferenciar expressões onde $ z $ é uma função de $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos tratar $ z $ como uma função de $ x $ e $ y $, ou seja, $ z = z(x, y) $. Nossa equação é:
Queremos encontrar como $ z $ muda em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ z_x $ e $ z_y $. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.
Passo 3
Vamos começar diferenciando em relação a $ x $. Aplicando a diferenciação implícita:
Calculando cada termo:
- $ \frac{\partial}{\partial x}(x^{3}) = 3x^{2} $
- $ \frac{\partial}{\partial x}(y^{3}) = 0 $ (porque $ y $ é tratado como constante em relação a $ x $)
- $ \frac{\partial}{\partial x}(z^{3}) = 3z^{2} \cdot z_x $ (usando a regra da cadeia)
- $ \frac{\partial}{\partial x}(6xyz) = 6y z + 6xy z_x $ (produto das derivadas)
A derivada do lado direito é zero, já que a derivada de uma constante é zero. Então temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ z_x $ na equação:
Fatorando $ z_x $:
Finalmente, resolvendo para $ z_x $:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por 3:
Passo 5
Agora, vamos encontrar $ z_y $ fazendo um processo similar, diferenciando a equação original em relação a $ y $:
Calculando cada termo:
- $ \frac{\partial}{\partial y}(x^{3}) = 0 $
- $ \frac{\partial}{\partial y}(y^{3}) = 3y^{2} $
- $ \frac{\partial}{\partial y}(z^{3}) = 3z^{2} \cdot z_y $
- $ \frac{\partial}{\partial y}(6xyz) = 6x z + 6xy z_y $
Igualando a zero:
Passo 6
Isolando $ z_y $:
Fatorando $ z_y $:
Resolvendo para $ z_y $:
Simplificando dividindo por 3:
Resposta
As derivadas parciais são:
e