Determine zx e zy onde x^3+y^3+z^3+6 x y z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar $ z_x $ e $ z_y $ na equação $ x^{3} + y^{3} + z^{3} + 6xyz = 1 $. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais usando diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar lembrar como diferenciar expressões onde $ z $ é uma função de $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar $ z $ como uma função de $ x $ e $ y $, ou seja, $ z = z(x, y) $. Nossa equação é:
z
Queremos encontrar como $ z $ muda em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ z_x $ e $ z_y $. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.

Passo 3

Vamos começar diferenciando em relação a $ x $. Aplicando a diferenciação implícita:
x
Calculando cada termo:
  • $ \frac{\partial}{\partial x}(x^{3}) = 3x^{2} $
  • $ \frac{\partial}{\partial x}(y^{3}) = 0 $ (porque $ y $ é tratado como constante em relação a $ x $)
  • $ \frac{\partial}{\partial x}(z^{3}) = 3z^{2} \cdot z_x $ (usando a regra da cadeia)
  • $ \frac{\partial}{\partial x}(6xyz) = 6y z + 6xy z_x $ (produto das derivadas)
A derivada do lado direito é zero, já que a derivada de uma constante é zero. Então temos:
partialpartial x(x^3) + partialpartial x(y^3) + partialpartial x(z^3) + partialpartial x(6xyz) = partialpartial x(1)

Passo 4

Agora, vamos isolar $ z_x $ na equação:
zx
Fatorando $ z_x $:
3z^2 zx + 6xy zx = -3x^2 - 6y z
Finalmente, resolvendo para $ z_x $:
zx
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por 3:
zx (3z^2 + 6xy) = -3x^2 - 6y z

Passo 5

Agora, vamos encontrar $ z_y $ fazendo um processo similar, diferenciando a equação original em relação a $ y $:
zy
Calculando cada termo:
  • $ \frac{\partial}{\partial y}(x^{3}) = 0 $
  • $ \frac{\partial}{\partial y}(y^{3}) = 3y^{2} $
  • $ \frac{\partial}{\partial y}(z^{3}) = 3z^{2} \cdot z_y $
  • $ \frac{\partial}{\partial y}(6xyz) = 6x z + 6xy z_y $
Igualando a zero:
y

Passo 6

Isolando $ z_y $:
zy
Fatorando $ z_y $:
3z^2 zy + 6xy zy = -3y^2 - 6x z
Resolvendo para $ z_y $:
zy
Simplificando dividindo por 3:
zy (3z^2 + 6xy) = -3y^2 - 6x z

Resposta

As derivadas parciais são:
zx = -x^2 - 2y z z^2 + 2xy
e
zy = -y^2 - 2x z z^2 + 2xy

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