O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
, sendo
em volts,
em cm.
Determine o versor da direção normal à superfície equipotencial que passa pelo ponto
.
Determine o versor da direção normal à superfície equipotencial que passa pelo ponto
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre potencial elétrico. A gente tem uma função que descreve o potencial elétrico em um espaço tridimensional: $ V(x, y, z) = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $. Nosso objetivo é encontrar o versor da direção normal à superfície equipotencial que passa por um ponto específico $ A $. Para isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente de $ V $ e como normalizar esse vetor para obter o versor.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do potencial elétrico. Sabemos que $ \ln \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + y^{2} + z^{2}) $. Isso facilita na hora de derivar.
Passo 3
A superfície equipotencial é o conjunto de pontos onde o potencial $ V $ é constante. Para encontrar a direção normal a essa superfície, a gente precisa calcular o gradiente de $ V $, porque o gradiente aponta na direção de maior variação de $ V $ e é perpendicular à superfície equipotencial.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente de $ V $. O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Passo 5
Agora, para obter o versor da direção normal, precisamos normalizar o gradiente. Normalizar significa dividir o vetor pelo seu módulo (comprimento). O módulo de $ \nabla V $ é dado por:
Passo 6
Dividindo o gradiente pelo seu módulo, temos o versor:
Resposta
O versor da direção normal à superfície equipotencial que passa pelo ponto $ A $ é: