O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V(x, y, z)=ln raizx^2+y^2+z^2, sendo V em volts, x, y, z em cm.
Determine o versor da direção normal à superfície equipotencial que passa pelo ponto A.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre potencial elétrico. A gente tem uma função que descreve o potencial elétrico em um espaço tridimensional: $ V(x, y, z) = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $. Nosso objetivo é encontrar o versor da direção normal à superfície equipotencial que passa por um ponto específico $ A $. Para isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente de $ V $ e como normalizar esse vetor para obter o versor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do potencial elétrico. Sabemos que $ \ln \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + y^{2} + z^{2}) $. Isso facilita na hora de derivar.

Passo 3

A superfície equipotencial é o conjunto de pontos onde o potencial $ V $ é constante. Para encontrar a direção normal a essa superfície, a gente precisa calcular o gradiente de $ V $, porque o gradiente aponta na direção de maior variação de $ V $ e é perpendicular à superfície equipotencial.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente de $ V $. O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
V
Calculando as derivadas parciais:
nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y, partial Vpartial z )
partial Vpartial x = 12 cdot 2xx^2 + y^2 + z^2 = xx^2 + y^2 + z^2
partial Vpartial y = yx^2 + y^2 + z^2
Então, o gradiente fica:
partial Vpartial z = zx^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Agora, para obter o versor da direção normal, precisamos normalizar o gradiente. Normalizar significa dividir o vetor pelo seu módulo (comprimento). O módulo de $ \nabla V $ é dado por:
nabla V
|nabla V| = raiz( xx^2 + y^2 + z^2 )^2 + ( yx^2 + y^2 + z^2 )^2 + ( zx^2 + y^2 + z^2 )^2

Passo 6

Dividindo o gradiente pelo seu módulo, temos o versor:
u = nabla V|nabla V| = ( xx^2 + y^2 + z^2, yx^2 + y^2 + z^2, zx^2 + y^2 + z^2 ) times raizx^2 + y^2 + z^2
= ( xraizx^2 + y^2 + z^2, yraizx^2 + y^2 + z^2, zraizx^2 + y^2 + z^2 )

Resposta

O versor da direção normal à superfície equipotencial que passa pelo ponto $ A $ é:
A

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