Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(1 pt) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2^{x}-1\right)(1+x)^{\frac{4}{x}}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular, quando existir, o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\bigl(2^{x}-1\bigr)\,(1+x)^{\frac{4}{x}}}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve 2^{x}-1, a potência (1+x)^{4/x} e divisão por x.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    O que é pedido: encontrar o valor desse limite (ou justificar por que não existe).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): quando x\neq 0 a expressão pode ser reescrita como produto
\frac{2^{x}-1}{x}\cdot (1+x)^{\frac{4}{x}}.
Vou calcular separadamente os limites das duas parcelas:
L_1=\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{x} \qquad\text{e}\qquad L_2=\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{4}{x}},
mostrar que ambos existem e são finitos, e então usar que o limite do produto é o produto dos limites.

Passo 3

Cálculo de L_1. Escrever 2^{x} como exponencial com base e:
2^{x}=e^{x\ln 2}.
Então
\frac{2^{x}-1}{x}=\frac{e^{x\ln 2}-1}{x}.
Usar a expansão conhecida de e^{t} para t\to 0: e^{t}=1+t+o(t). Tomando t=x\ln 2 (que vai para 0 quando x\to0) obtemos
e^{x\ln 2}-1 = x\ln 2 + o(x).
Dividindo por x
\frac{e^{x\ln 2}-1}{x}=\ln 2 + o(1).
Portanto o limite existe e vale
L_1=\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{x}=\ln 2.

Passo 4

Cálculo de L_2. Trabalhar com o logaritmo natural para transformar a potência em produto:
\ln\bigl((1+x)^{\frac{4}{x}}\bigr)=\frac{4}{x}\ln(1+x).
Usar a expansão de \ln(1+x) para x\to 0: \ln(1+x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}). Então
\frac{4}{x}\ln(1+x)=\frac{4}{x}\Bigl(x-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\Bigr)=4-2x+o(x).
Ao fazer x\to 0 isso tende a 4. Assim
\lim_{x\to 0}\ln\bigl((1+x)^{\frac{4}{x}}\bigr)=4.
Aplicando a função exponencial (contínua) volta-se para a expressão original:
L_2=\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{4}{x}}=e^{4}.

Passo 5

Combinação dos limites. Para x\neq 0 a expressão original é
\frac{2^{x}-1}{x}\cdot (1+x)^{\frac{4}{x}}.
Já mostramos que \dfrac{2^{x}-1}{x}\to \ln 2 e (1+x)^{4/x}\to e^{4} quando x\to 0. Como ambos os limites existem e são finitos, o limite do produto existe e é o produto dos limites.

Resposta

e^{4}\ln 2

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