Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(1 pt)
(1 pt)
Passo 1
O enunciado pede calcular, quando existir, o limite
Informações dadas:
- A expressão envolve
, a potência e divisão por . - O ponto de interesse é
.
O que é pedido: encontrar o valor desse limite (ou justificar por que não existe).
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): quando
a expressão pode ser reescrita como produto
Vou calcular separadamente os limites das duas parcelas:
mostrar que ambos existem e são finitos, e então usar que o limite do produto é o produto dos limites.
Passo 3
Cálculo de
. Escrever
como exponencial com base
:
Então
Usar a expansão conhecida de
para
:
. Tomando
(que vai para
quando
) obtemos
Dividindo por
dá
Portanto o limite existe e vale
Passo 4
Cálculo de
. Trabalhar com o logaritmo natural para transformar a potência em produto:
Usar a expansão de
para
:
. Então
Ao fazer
isso tende a
. Assim
Aplicando a função exponencial (contínua) volta-se para a expressão original:
Passo 5
Combinação dos limites. Para
a expressão original é
Já mostramos que
e
quando
. Como ambos os limites existem e são finitos, o limite do produto existe e é o produto dos limites.