Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(1 pt)
(1 pt)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A expressão é a função
. - Quer-se o valor de
, ou justificar que o limite não existe. - Observação inicial: ao substituir
diretamente obtemos e , logo a forma é indeterminada . Isso pede uma manipulação algébrica (ou outro método) para eliminar a indeterminação.
Passo 2
Por que não podemos avaliar direto e qual a estratégia?
- Quando uma expressão dá
ao substituir o ponto, o limite pode existir, mas é preciso simplificar a expressão primeiro (cancelar o fator que causa o zero). Uma técnica básica é usar uma substituição que torne a expressão mais simples e/ou racionalizar (multiplicar por conjugado) quando há radicais. - Vou escolher uma substituição simples para diminuir a composição de radicais: definir
. Essa é legítima porque, ao considerar próximo de , e fica próximo de . A passagem entre limites é válida: implica .
Passo 3
Fazer a substituição
.
- Com
temos . - A expressão passa a ser
e o limite a calcular vira
Passo 4
Racionalizar o denominador (multiplicar por conjugado) para eliminar a raiz no denominador.
- Multiplica-se numerador e denominador por o conjugado do denominador
. Assim
- O produto no denominador é diferença de quadrados; fica
- Portanto a expressão simplificada é
Passo 5
Fatorar
e cancelar o fator que causa a indeterminação.
- Note que
. - Também
. Substituindo,
- Para
(ou seja, em um ponto qualquer próximo de mas distinto de ) pode-se cancelar o fator , ficando
- A cancelamento elimina a indeterminação
. Agora podemos tomar o limite substituindo .
Passo 6
Avaliar o limite da expressão simplificada.
- Substituindo
em
obtém-se
- Como a expressão simplificada é contínua em
, esse valor é o limite procurado.