Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(1 pt) \lim _{x \rightarrow 16} \frac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}-5}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 16}\frac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}-5}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão é a função f(x)=\dfrac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}-5}.
  • Quer-se o valor de \lim_{x\to16} f(x), ou justificar que o limite não existe.
  • Observação inicial: ao substituir x=16 diretamente obtemos 4-\sqrt{16}=0 e \sqrt{16+9}-5=\sqrt{25}-5=0, logo a forma é indeterminada 0/0. Isso pede uma manipulação algébrica (ou outro método) para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Por que não podemos avaliar direto e qual a estratégia?
  • Quando uma expressão dá 0/0 ao substituir o ponto, o limite pode existir, mas é preciso simplificar a expressão primeiro (cancelar o fator que causa o zero). Uma técnica básica é usar uma substituição que torne a expressão mais simples e/ou racionalizar (multiplicar por conjugado) quando há radicais.
  • Vou escolher uma substituição simples para diminuir a composição de radicais: definir u=\sqrt{x}. Essa é legítima porque, ao considerar x próximo de 16, x\ge0 e u fica próximo de 4. A passagem entre limites é válida: x\to16 implica u\to4.

Passo 3

Fazer a substituição u=\sqrt{x}.
  • Com u=\sqrt{x} temos x=u^2.
  • A expressão passa a ser
\frac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}-5}=\frac{4-u}{\sqrt{u^2+9}-5},
e o limite a calcular vira
\lim_{u\to 4}\frac{4-u}{\sqrt{u^2+9}-5}.

Passo 4

Racionalizar o denominador (multiplicar por conjugado) para eliminar a raiz no denominador.
  • Multiplica-se numerador e denominador por o conjugado do denominador \sqrt{u^2+9}+5. Assim
\frac{4-u}{\sqrt{u^2+9}-5}\cdot\frac{\sqrt{u^2+9}+5}{\sqrt{u^2+9}+5} =\frac{(4-u)\bigl(\sqrt{u^2+9}+5\bigr)}{(\sqrt{u^2+9}-5)(\sqrt{u^2+9}+5)}.
  • O produto no denominador é diferença de quadrados; fica
(\sqrt{u^2+9})^2-5^2 = (u^2+9)-25 = u^2-16.
  • Portanto a expressão simplificada é
\frac{(4-u)\bigl(\sqrt{u^2+9}+5\bigr)}{u^2-16}.

Passo 5

Fatorar u^2-16 e cancelar o fator que causa a indeterminação.
  • Note que u^2-16=(u-4)(u+4).
  • Também 4-u=-(u-4). Substituindo,
\frac{(4-u)\bigl(\sqrt{u^2+9}+5\bigr)}{u^2-16} =\frac{-(u-4)\bigl(\sqrt{u^2+9}+5\bigr)}{(u-4)(u+4)}.
  • Para u\neq4 (ou seja, em um ponto qualquer próximo de 4 mas distinto de 4) pode-se cancelar o fator (u-4), ficando
-\frac{\sqrt{u^2+9}+5}{u+4}.
  • A cancelamento elimina a indeterminação 0/0. Agora podemos tomar o limite substituindo u\to4.

Passo 6

Avaliar o limite da expressão simplificada.
  • Substituindo u=4 em
-\frac{\sqrt{u^2+9}+5}{u+4}
obtém-se
-\frac{\sqrt{4^2+9}+5}{4+4}=-\frac{\sqrt{16+9}+5}{8}=-\frac{\sqrt{25}+5}{8}=-\frac{5+5}{8}=-\frac{10}{8}=-\frac{5}{4}.
  • Como a expressão simplificada é contínua em u=4, esse valor é o limite procurado.

Resposta

-\dfrac{5}{4}

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