Um jardineiro caminha por um gramado enquanto desenrola uma mangueira. Após realizar a rega, ele caminha de volta ao depósito puxando a mangueira pela ponta, de maneira que ela é arrastada sobre o gramado durante o trajeto. Qual das afirmativas a seguir é verdadeira:
(a) O trabalho realizado ao puxar a mangueira e maior do que o trabalho que seria realizado se o jardineiro tivesse empurrado a mangueira. ? \times
(b) Não faz diferença se a mangueira 6 arrastada sobre o gramado, uma vez que o peso não realiza trabalho em um movimento horizontal.
(c) O trabalho realizado sobre a mangueira pela força de atrito desta com a grama é negativo e vale m g d onde m é a massa da mangueira, g é o módulo da aceleração da gravidade e d é a distância do percurso de volta para o depósito. ?
(d) Para minimizar o trabalho realizado para levar a mangueira de volta, o ideal seria que o jardineiro primeiro enrolasse a mangueira e então a carregasse sem que arrastasse sobre o gramado.
(e) Nessa situação, o trabalho total realizado sobre a mangueira é zero, pois ela retorna para o local onde estava.

Passo 1

O enunciado descreve um jardineiro que caminhou para regar desenrolando uma mangueira e depois caminhou de volta puxando a mangueira pela ponta, de modo que ela foi arrastada sobre o gramado. A pergunta pede que você escolha qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira. Informações relevantes dadas ou implícitas:
  • A mangueira tem massa m.
  • A aceleração da gravidade tem módulo g.
  • A distância do percurso de volta ao depósito é d.
  • As alternativas envolvem conceitos de trabalho, atrito, peso e estratégias para minimizar trabalho.
  • Não foi dado coeficiente de atrito, nem ângulo de puxar; apenas o fato de que a mangueira é arrastada sobre o gramado durante o retorno.

Passo 2

Definição e interpretação física do trabalho (lembrando passo a passo a fórmula e o significado).
  • O trabalho realizado por uma força \vec{F} ao longo de um deslocamento \vec{r} é
W=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Isto significa que só conta a componente da força na direção do deslocamento.
  • Para força constante colinear ao deslocamento temos a fórmula reduzida
W=F d \cos\theta,
onde F é a magnitude da força, d a distância percorrida e \theta o ângulo entre força e deslocamento. Se a força for oposta ao deslocamento ( \theta=180^\circ), o trabalho é negativo; se for na mesma direção ( \theta=0^\circ), é positivo.
  • Importante: forças conservativas (como a gravidade) têm trabalho que depende apenas das posições inicial e final na direção vertical; forças dissipativas (como o atrito) fazem trabalho que depende do caminho (e geralmente convertem energia mecânica em calor).

Passo 3

Quais forças atuam na mangueira e que trabalho cada uma faz (análise passo a passo):
  • Peso: a força gravitacional é \vec{P}=m\vec{g}, vertical para baixo.
  • Normal: reação do gramado \vec{N}, vertical para cima.
  • Atrito de contato com a grama: \vec{f}, aproximadamente horizontal e oposto ao movimento, magnitude típica f=\mu_k N (onde \mu_k é o coeficiente de atrito cinético).
  • Força aplicada pelo jardineiro \vec{F}_a, essencialmente horizontal ao puxar (pode ter pequeno componente vertical se ele puxa em ângulo).
    Agora, trabalho desses pares: como o deslocamento principal é horizontal, a componente vertical do deslocamento é nula (se a mangueira permanece no chão), então:
  • O trabalho do peso é zero se não houver deslocamento vertical líquido. Em situações típicas de arrasto horizontal, a contribuição de m\vec{g} ao trabalho é nula.
  • O trabalho da normal também é zero pelas mesmas razões.
    Conclusão: peso e normal não fazem trabalho durante um deslocamento puramente horizontal da mangueira sobre o gramado (ou seu trabalho líquido vertical é nulo se não há mudança de altura).

Passo 4

Trabalho do atrito — fórmula e sinal (explicação detalhada para levar para a prova).
  • O atrito cinético tem direção oposta ao deslocamento; portanto o trabalho realizado pela força de atrito ao longo de uma distância d é negativo.
  • Se a força de atrito for aproximadamente constante e igual a f=\mu_k N e se N\approx m g (caso sem componentes verticais adicionais relevantes), então
W_{\text{atrito}}=\int \vec{f}\cdot d\vec{r} = - f d = -\mu_k N d \approx -\mu_k m g d.
  • Observação importante para a questão: a alternativa (c) afirma que o trabalho da força de atrito vale -m g d (note que ali falta o fator \mu_k). Sem informação sobre \mu_k não se pode afirmar que o módulo do trabalho seja m g d. Logo a alternativa (c) é incorreta porque omite o coeficiente de atrito; o valor correto geralmente é -\mu_k m g d (e, além disso, N pode variar se a força aplicada tiver componente vertical).

Passo 5

Comparação puxar vs empurrar (análise da alternativa (a)).
  • Se tanto puxar quanto empurrar forem feitos horizontalmente e as forças normais permanecerem iguais ( N\approx m g), o atrito e, portanto, o trabalho necessário para vencer o atrito são os mesmos em magnitude (pois f=\mu_k N).
  • Se ao puxar existe um componente vertical para cima da força aplicada (puxar ligeiramente para cima), o normal N diminui e o atrito diminui — então nestes casos puxar pode exigir menos trabalho contra o atrito do que empurrar. Assim, não é verdade, em geral, que “o trabalho ao puxar é maior do que ao empurrar”: isso depende do ângulo da força aplicada.
  • Conclusão: (a) é uma afirmação generalizada e falsa na forma dada.

Passo 6

Por que arrastar sobre o gramado faz diferença e por que (b) e (e) estão erradas.
  • A alternativa (b) diz que “não faz diferença se a mangueira é arrastada … uma vez que o peso não realiza trabalho em um movimento horizontal”. A primeira parte da frase é falsa: arrastar faz diferença porque o atrito com a grama realiza trabalho (negativo) — o fato de que o peso não realiza trabalho não anula o trabalho de atrito. Portanto (b) é falsa.
  • A alternativa (e) afirma que “o trabalho total realizado sobre a mangueira é zero, pois ela retorna para o local onde estava.” Essa justificativa está errada: o trabalho total realizado sobre um objeto não depende apenas do ponto inicial e final no espaço, mas também das forças não conservativas que atuaram. Entretanto, cuidado com ambiguidade: pela Teorema Trabalho-Energia, se a mangueira começa e termina em repouso e não há variação de energia cinética, a soma algébrica dos trabalhos de todas as forças sobre a mangueira será igual a \Delta K=0. Isso quer dizer que o trabalho feito pela força aplicada pelo jardineiro (positivo) pode ser numericamente igual ao trabalho negativo feito pelo atrito, de modo que a soma seja zero — mas a razão não é “porque a mangueira retornou ao mesmo lugar”, e sim porque não houve variação de energia cinética. A alternativa (e) dá uma razão incorreta, então está mal formulada/enganosa e não é aceitável como verdadeira.

Passo 7

Analisando a alternativa (d) e justificando por que é a correta (explicação prática e física).
  • O trabalho que o jardineiro precisa fornecer, em última instância, é o trabalho necessário para vencer a força de atrito durante o deslizamento da mangueira sobre o gramado. Esse trabalho é proporcional à distância sobre a qual ocorre o deslizamento efetivo da mangueira ( W_{\text{atrito}}\approx -\mu_k m g \cdot \ell_{\text{deslize}}).
  • Estratégias que reduzam a distância total que partes da mangueira deslizam sobre o gramado reduzirão o trabalho dissipada por atrito. Se o jardineiro primeiro enrola a mangueira próximo ao local onde ela está (encurtando a porção que precisa ser arrastada) e depois carrega a mangueira sem arrastá‑la sobre o gramado, ele reduz \ell_{\text{deslize}} e, portanto, diminui o trabalho perdido por atrito durante o trajeto de volta.
  • Mesmo que enrolar exija algum deslocamento relativo local e possa causar atrito, geralmente a quantidade de mangueira que efetivamente precisa deslizar por toda a distância d é muito menor, e portanto a energia dissipada por atrito ao atravessar o gramado é menor do que ao arrastar toda a extensão sobre a distância d.
  • Portanto, a alternativa (d) — que diz que, para minimizar o trabalho, o ideal seria primeiro enrolar a mangueira e então carregá‑la sem arrastá‑la — é a afirmação correta em termos práticos e físicos: evitar arrastar longa distância minimiza o trabalho realizado contra o atrito.

Resposta

(d)

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