Achar aproximação para a solução do PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=x-y+2 \\\ y(0)=2\end{array}\right. na malha [0,1] com h=0,1 usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado).

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} y' = x - y + 2,\\[4pt] y(0)=2, \end{cases}
na malha [0,1] com passo h=0{,}1 usando o método de Runge–Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado).\n
Dados fornecidos e o que precisamos produzir:
x_0=0,\; y_0=2,\; h=0{,}1,\; \text{malha } x_n = 0{,}0,\;0{,}1,\;0{,}2,\dots,1{,}0.
Precisamos calcular aproximações y_1,y_2,\dots,y_{10} nos pontos x_1,\dots,x_{10} usando o método pedido.]

Passo 2

Qual é o método e como ele funciona (aula rápida e prática)?\n
O método “Runge–Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado / Heun)” que vamos usar tem esta ideia: ao invés de usar só a inclinação inicial para avançar (como no Euler explícito), calculamos uma inclinação inicial e uma inclinação “predita” no fim do subintervalo e usamos a média das duas para melhorar a aproximação. As fórmulas são:
\text{defina } f(x,y)=x-y+2.
k_1 = f(x_n,y_n)
k_2 = f(x_n+h,\; y_n + h\,k_1)
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\bigl(k_1 + k_2\bigr).
Explicando cada símbolo (sem pressa):
  • x_n é o ponto atual da malha (por exemplo x_0=0, x_1=0{,}1, …).
  • y_n é a aproximação da solução exata y(x_n) no ponto x_n.
  • h é o passo (aqui h=0{,}1).
  • k_1 é a inclinação (derivada) no início do passo.
  • k_2 é a inclinação estimada no final do passo, usando uma previsão explícita de y.
  • A fórmula para y_{n+1} é a média das duas inclinações multiplicada por h e somada a y_n.
Por que isso melhora? Porque em vez de usar só a inclinação do começo do intervalo (que pode ser enganosa), nós ajustamos com a inclinação no final prevista, reduzindo erro local e tornando o método de segunda ordem (erro global O(h^2)), o que normalmente é suficiente e rápido em provas.
Agora vamos aplicar isso passo a passo na nossa equação f(x,y)=x-y+2. Vou mostrar os cálculos em cada passo para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Passo de x_0=0 para x_1=0{,}1.\n
Dados: x_0=0, y_0=2.
k_1 = f(0,2) = 0 - 2 + 2 = 0.
y_0 + h k_1 = 2 + 0{,}1\cdot 0 = 2.
k_2 = f(0{,}1,2) = 0{,}1 - 2 + 2 = 0{,}1.
y_1 = 2 + \frac{0{,}1}{2}(0 + 0{,}1) = 2 + 0{,}05\cdot 0{,}1 = 2 + 0{,}005 = 2{,}005.

Passo 4

Passo de x_1=0{,}1 para x_2=0{,}2.\n
Dados: x_1=0{,}1, y_1=2{,}005.
k_1 = f(0{,}1,2{,}005) = 0{,}1 - 2{,}005 + 2 = 0{,}095.
y_1 + h k_1 = 2{,}005 + 0{,}1\cdot 0{,}095 = 2{,}005 + 0{,}0095 = 2{,}0145.
k_2 = f(0{,}2,2{,}0145) = 0{,}2 - 2{,}0145 + 2 = 0{,}1855.
y_2 = 2{,}005 + 0{,}05(0{,}095 + 0{,}1855) = 2{,}005 + 0{,}05\cdot 0{,}2805 = 2{,}005 + 0{,}014025 = 2{,}019025.

Passo 5

Passo de x_2=0{,}2 para x_3=0{,}3.\n
Dados: x_2=0{,}2, y_2=2{,}019025.
k_1 = f(0{,}2,2{,}019025) = 0{,}2 - 2{,}019025 + 2 = 0{,}180975.
y_2 + h k_1 = 2{,}019025 + 0{,}1\cdot 0{,}180975 = 2{,}019025 + 0{,}0180975 = 2{,}0371225.
k_2 = f(0{,}3,2{,}0371225) = 0{,}3 - 2{,}0371225 + 2 = 0{,}2628775.
y_3 = 2{,}019025 + 0{,}05(0{,}180975 + 0{,}2628775) = 2{,}019025 + 0{,}022192625 = 2{,}041217625.

Passo 6

Passo de x_3=0{,}3 para x_4=0{,}4.\n
Dados: x_3=0{,}3, y_3=2{,}041217625.
k_1 = f(0{,}3,2{,}041217625) = 0{,}3 - 2{,}041217625 + 2 = 0{,}258782375.
y_3 + h k_1 = 2{,}041217625 + 0{,}1\cdot 0{,}258782375 = 2{,}041217625 + 0{,}0258782375 = 2{,}0670958625.
k_2 = f(0{,}4,2{,}0670958625) = 0{,}4 - 2{,}0670958625 + 2 = 0{,}3329041375.
y_4 = 2{,}041217625 + 0{,}05(0{,}258782375 + 0{,}3329041375) = 2{,}041217625 + 0{,}029584325625 = 2{,}070801950625.

Passo 7

Passo de x_4=0{,}4 para x_5=0{,}5.\n
Dados: x_4=0{,}4, y_4\approx 2{,}070801950625.
k_1 = f(0{,}4,2{,}070801950625) = 0{,}4 - 2{,}070801950625 + 2 = 0{,}329198049375.
y_4 + h k_1 = 2{,}070801950625 + 0{,}0329198049375 = 2{,}1037217555625.
k_2 = f(0{,}5,2{,}1037217555625) = 0{,}5 - 2{,}1037217555625 + 2 = 0{,}3962782444375.
y_5 = 2{,}070801950625 + 0{,}05(0{,}329198049375 + 0{,}3962782444375) = 2{,}070801950625 + 0{,}036273814690625 = 2{,}107075765315625.

Passo 8

Passo de x_5=0{,}5 para x_6=0{,}6.\n
Dados: x_5=0{,}5, y_5\approx 2{,}107075765315625.
k_1 = f(0{,}5,2{,}107075765315625) = 0{,}5 - 2{,}107075765315625 + 2 = 0{,}392924234684375.
y_5 + h k_1 = 2{,}107075765315625 + 0{,}0392924234684375 = 2{,}1463681887840624.
k_2 = f(0{,}6,2{,}1463681887840624) = 0{,}6 - 2{,}1463681887840624 + 2 = 0{,}4536318112159376.
y_6 = 2{,}107075765315625 + 0{,}05(0{,}392924234684375 + 0{,}4536318112159376) = 2{,}107075765315625 + 0{,}04232780229501563 = 2{,}1494035676106406.

Passo 9

Passo de x_6=0{,}6 para x_7=0{,}7.\n
Dados: x_6=0{,}6, y_6\approx 2{,}1494035676106406.
k_1 = f(0{,}6,2{,}1494035676106406) = 0{,}6 - 2{,}1494035676106406 + 2 = 0{,}4505964323893594.
y_6 + h k_1 = 2{,}1494035676106406 + 0{,}045059643238935944 = 2{,}1944632108495766.
k_2 = f(0{,}7,2{,}1944632108495766) = 0{,}7 - 2{,}1944632108495766 + 2 = 0{,}5055367891504234.
y_7 = 2{,}1494035676106406 + 0{,}05(0{,}4505964323893594 + 0{,}5055367891504234) = 2{,}1494035676106406 + 0{,}04780666107698914 = 2{,}1972102286876297.

Passo 10

Passo de x_7=0{,}7 para x_8=0{,}8.\n
Dados: x_7=0{,}7, y_7\approx 2{,}1972102286876297.
k_1 = f(0{,}7,2{,}1972102286876297) = 0{,}7 - 2{,}1972102286876297 + 2 = 0{,}5027897713123703.
y_7 + h k_1 = 2{,}1972102286876297 + 0{,}05027897713123703 = 2{,}2474892058188667.
k_2 = f(0{,}8,2{,}2474892058188667) = 0{,}8 - 2{,}2474892058188667 + 2 = 0{,}5525107941811333.
y_8 = 2{,}1972102286876297 + 0{,}05(0{,}5027897713123703 + 0{,}5525107941811333) = 2{,}1972102286876297 + 0{,}05276502827467518 = 2{,}2499752569623047.

Passo 11

Passo de x_8=0{,}8 para x_9=0{,}9.\n
Dados: x_8=0{,}8, y_8\approx 2{,}2499752569623047.
k_1 = f(0{,}8,2{,}2499752569623047) = 0{,}8 - 2{,}2499752569623047 + 2 = 0{,}5500247430376953.
y_8 + h k_1 = 2{,}2499752569623047 + 0{,}05500247430376953 = 2{,}3049777312660742.
k_2 = f(0{,}9,2{,}3049777312660742) = 0{,}9 - 2{,}3049777312660742 + 2 = 0{,}5950222687339258.
y_9 = 2{,}2499752569623047 + 0{,}05(0{,}5500247430376953 + 0{,}5950222687339258) = 2{,}2499752569623047 + 0{,}05725235058858106 = 2{,}3072276075508857.

Passo 12

Passo de x_9=0{,}9 para x_{10}=1{,}0.\n
Dados: x_9=0{,}9, y_9\approx 2{,}3072276075508857.
k_1 = f(0{,}9,2{,}3072276075508857) = 0{,}9 - 2{,}3072276075508857 + 2 = 0{,}5927723924491143.
y_9 + h k_1 = 2{,}3072276075508857 + 0{,}059277239244911434 = 2{,}366504846795797.
k_2 = f(1{,}0,2{,}366504846795797) = 1{,}0 - 2{,}366504846795797 + 2 = 0{,}633495153204203.
y_{10} = 2{,}3072276075508857 + 0{,}05(0{,}5927723924491143 + 0{,}633495153204203) = 2{,}3072276075508857 + 0{,}061313377282665865 = 2{,}3685409848335516.

Resposta

y(0{,}0)=2{,}000000
y(0{,}1)=2{,}005000
y(0{,}2)=2{,}019025
y(0{,}3)=2{,}041217625
y(0{,}4)=2{,}070801950625
y(0{,}5)=2{,}107075765315625
y(0{,}6)=2{,}1494035676106406
y(0{,}7)=2{,}1972102286876297
y(0{,}8)=2{,}2499752569623047
y(0{,}9)=2{,}3072276075508857
y(1{,}0)=2{,}3685409848335516

Exercícios relacionados