Achar aproximação para a solução do PVI
na malha
com
usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado).
Passo 1
O enunciado pede: aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI)
na malha
com passo
usando o método de Runge–Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado).\n
Dados fornecidos e o que precisamos produzir:
Dados fornecidos e o que precisamos produzir:
Precisamos calcular aproximações
nos pontos
usando o método pedido.]
Passo 2
Qual é o método e como ele funciona (aula rápida e prática)?\n
O método “Runge–Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado / Heun)” que vamos usar tem esta ideia: ao invés de usar só a inclinação inicial para avançar (como no Euler explícito), calculamos uma inclinação inicial e uma inclinação “predita” no fim do subintervalo e usamos a média das duas para melhorar a aproximação. As fórmulas são:
O método “Runge–Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado / Heun)” que vamos usar tem esta ideia: ao invés de usar só a inclinação inicial para avançar (como no Euler explícito), calculamos uma inclinação inicial e uma inclinação “predita” no fim do subintervalo e usamos a média das duas para melhorar a aproximação. As fórmulas são:
Explicando cada símbolo (sem pressa):
-
é o ponto atual da malha (por exemplo , , …). -
é a aproximação da solução exata no ponto . -
é o passo (aqui ). -
é a inclinação (derivada) no início do passo. -
é a inclinação estimada no final do passo, usando uma previsão explícita de . - A fórmula para
é a média das duas inclinações multiplicada por e somada a .
Por que isso melhora? Porque em vez de usar só a inclinação do começo do intervalo (que pode ser enganosa), nós ajustamos com a inclinação no final prevista, reduzindo erro local e tornando o método de segunda ordem (erro global
), o que normalmente é suficiente e rápido em provas.
Agora vamos aplicar isso passo a passo na nossa equação
. Vou mostrar os cálculos em cada passo para você poder reproduzir na prova.
Passo 3
Passo de
para
.\n
Dados: ,
.
Dados:
Passo 4
Passo de
para
.\n
Dados: ,
.
Dados:
Passo 5
Passo de
para
.\n
Dados: ,
.
Dados:
Passo 6
Passo de
para
.\n
Dados: ,
.
Dados:
Passo 7
Passo de
para
.\n
Dados: ,
.
Dados:
Passo 8
Passo de
para
.\n
Dados: ,
.
Dados:
Passo 9
Passo de
para
.\n
Dados: ,
.
Dados:
Passo 10
Passo de
para
.\n
Dados: ,
.
Dados:
Passo 11
Passo de
para
.\n
Dados: ,
.
Dados:
Passo 12
Passo de
para
.\n
Dados: ,
.
Dados: