Achar a área limitada pela dada curva, o eixo X e as retas dadas:
y=x^3+3 x^2+2 x, x=-3 e x=3;

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva y = x^3 + 3x^2 + 2x, pelo eixo X e pelas retas x=-3 e x=3. Este é um problema de cálculo de área sob a curva usando integrais definidas, e como a função muda de sinal, vamos precisar usar valor absoluto e fatoração para achar onde y=0.

Passo 2

Para encontrar onde a curva cruza o eixo X, fatoramos y:
y = x^3 + 3x^2 + 2x = x(x+1)(x+2)
As raízes são x=0, x=-1 e x=-2.
Testando valores típicos em cada intervalo do domínio [-3,3], vemos que y<0 em [-3,-2) e [-1,0), e y>0 em [-2,-1) e [0,3].

Passo 3

Logo, a área que queremos é a soma das integrais com valor absoluto:
integral-3^-2 -y,dx ;+ integral-2^-1 y,dx ;+ integral-1^0 -y,dx ;+ integral0^3 y,dx

Passo 4

Calculamos a antiderivada de y. A antiderivada de y = x^3+3x^2+2x é
F(x) = x^44 + x^3 + x^2

Passo 5

Agora calculamos cada integral usando F(x):
Para integral-3^-2 -y,dx = -[F(-2)-F(-3)] = -[0 - 9/4] = 9/4,
integral-2^-1 y,dx = F(-1)-F(-2) = 1/4 - 0 = 1/4,
integral-1^0 -y,dx = -[F(0)-F(-1)] = -[0 - 1/4] = 1/4,
integral0^3 y,dx = F(3)-F(0) = 225/4 - 0 = 225/4.

Passo 6

Somando as áreas parciais: 9/4 + 1/4 + 1/4 + 225/4 = 236/4 = 59.

Resposta

59

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