Calcular a área limitada por:
y=x^2 e y=3 x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área limitada pelas curvas y = x^2 e y = 3x. Isso envolve conteúdo de cálculo integral: área entre duas curvas. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção, identificar qual função fica acima da outra e depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos em que as duas curvas se interceptam resolvendo x^2 = 3x. Isso dá
x^2 - 3x = 0 x(x - 3)=0
Logo, as interseções ocorrem em x = 0 e x = 3.

Passo 3

Agora, determinamos qual das funções está acima no intervalo [0,3]. Escolhendo, por exemplo, x=1: ylinha=3cdot1=3 e yparabola=1^2=1. Portanto, y=3x fica acima de y=x^2.

Passo 4

Podemos então escrever a área A como a integral da função superior menos a inferior de x=0 a x=3:
A = integral0^3 l(3x - x^2r),dx

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
integral l(3x - x^2r),dx = 32x^2 - x^33

Passo 6

Avaliamo-la de 0 a 3:
A = l[32x^2 - x^33r]0^3 = l(32cdot9 - 273r) - 0 = l(272 - 9r) = 27 - 182 = 92

Resposta

A área limitada pelas curvas é tfrac92 unidades de área.

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