Achar a área limitada pela dada curva, o eixo X e as retas dadas:
y=x^3, x=0 e x=4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área delimitada pela curva $ y = x^{3} $, pelo eixo $ X $ e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = 4 $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que é uma ferramenta poderosa para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa calcular essa área. Imagine que estamos somando infinitos retangulinhos estreitos sob a curva $ y = x^{3} $ entre $ x = 0 $ e $ x = 4 $. Esse somatório é exatamente o que a integração definida faz.

Passo 3

A fórmula para calcular a área $ A $ é dada pela integral de $ y $ em relação a $ x $, de $ x = 0 $ a $ x = 4 $:
A
Aqui, $ x^{3} $ é a função que define a curva, e os limites de integração são 0 e 4, que são as retas verticais que delimitam a área.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral. A integral de $ x^{3} $ em relação a $ x $ é:
x^3
Onde $ C $ é a constante de integração, mas como estamos calculando uma área definida, a constante será eliminada.

Passo 5

Aplicando os limites de 0 a 4 na antiderivada $ \frac{x^{4}}{4} $, temos:
x^44
A = [ x^44 ]0^4 = 4^44 - 0^44

Resposta

A área limitada pela curva $ y = x^{3} $, pelo eixo $ X $, e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = 4 $ é 64 unidades de área.

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